[7]. Как удобная математическая модель, осталась одна небесная сфера, с помощью которой астрономы по сей день представляют видимые положения звезд и планет.

Уравнение сферы в прямоугольной системе координат:

(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R2,{\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=R^{2},}

где (x0,y0,z0){\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})} — координаты центра сферы, R{\displaystyle R} — её радиус.

Параметрическое уравнение сферы с центром в точке (x0,y0,z0){\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}:

{x=x0+R⋅sin⁡θ⋅cos⁡ϕ,y=y0+R⋅sin⁡θ⋅sin⁡ϕ,z=z0+R⋅cos⁡θ,{\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+R\cdot \sin \theta \cdot \cos \phi ,\\y=y_{0}+R\cdot \sin \theta \cdot \sin \phi ,\\z=z_{0}+R\cdot \cos \theta ,\\\end{cases}}}

где θ∈[0,π]{\displaystyle \theta \in [0,\pi ]} и ϕ∈[0,2π).{\displaystyle \phi \in [0,2\pi ).}

Гауссова кривизна сферы постоянна и равна 1/R².

Основные геометрические формулы[править | править код]

Площадь поверхности сферы

S=4πr2=πd2.{\displaystyle S=4\pi r^{2}=\pi d^{2}.}

Объём шара, ограниченного сферой

V=43πr3.{\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}

Площадь сегмента сферы высоты H{\displaystyle H}

S=2πrH{\displaystyle S=2\pi rH}.

Окружность, лежащая на сфере, центр которой совпадает с центром сферы, называется большим кругом (большой окружностью) сферы. Большие окружности являются геодезическими линиями на сфере; любые две из них пересекаются в двух точках. Иными словами, большие круги сферы являются аналогами прямых на плоскости, расстояние между точками на сфере — длина дуги проходящего через них большого круга. Углу же между прямыми на плоскости соответствует двугранный угол между плоскостями больших кругов. Многие теоремы геометрии на плоскости справедливы и в сферической геометрии, существуют аналоги теоремы синусов, теоремы косинусов для сферических треугольников. В то же время, существует немало отличий, например, в сферическом треугольнике сумма углов всегда больше 180 градусов, к трём признакам равенства треугольников добавляется их равенство по трём углам, у сферического треугольника может быть два и даже три прямых угла — например, у сферического треугольника, образованного экватором и меридианами 0° и 90°.

Расстояние между двумя точками на сфере[править | править код]

Если даны сферические координаты двух точек, то расстояние между ними можно найти так:

L=R⋅arccos⁡(cos⁡θ1⋅cos⁡θ2+sin⁡θ1⋅sin⁡θ2⋅cos⁡(ϕ1−ϕ2)).{\displaystyle L=R\cdot \arccos(\cos \theta _{1}\cdot \cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\cdot \sin \theta _{2}\cdot \cos(\phi _{1}-\phi _{2})).}

Однако, если угол θ{\displaystyle \theta } задан не между осью Z и вектором на точку сферы, а между этим вектором и плоскостью XY (как это принято в земных координатах, заданных широтой и долготой), то формула будет такая:

L=R⋅arccos⁡(sin⁡θ1⋅sin⁡θ2+cos⁡θ1⋅cos⁡θ2⋅cos⁡(ϕ1−ϕ2)).{\displaystyle L=R\cdot \arccos(\sin \theta _{1}\cdot \sin \theta _{2}+\cos \theta _{1}\cdot \cos \theta _{2}\cdot \cos(\phi _{1}-\phi _{2})).}

В этом случае θ1{\displaystyle \theta _{1}} и θ2{\displaystyle \theta _{2}} называются широтами, а ϕ1{\displaystyle \phi _{1}} и ϕ2{\displaystyle \phi _{2}} долготами.

В общем случае уравнение (n−1)-мерной сферы (в n-мерном евклидовом пространстве) имеет вид:

∑i=1n(xi−ai)2=r2,{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-a_{i})^{2}=r^{2},}

где (a1,…,an){\displaystyle (a_{1},…,a_{n})} — центр сферы, а r{\displaystyle r} — радиус.

Пересечением двух n-мерных сфер является (n−1)-мерная сфера, лежащая на радикальной гиперплоскости этих сфер.

В n-мерном пространстве могут попарно касаться друг друга (в разных точках) не более n+1
сфер.

n-мерная инверсия переводит (n−1)-мерную сферу в (n−1)-мерную сферу или гиперплоскость.

С трёхмерной сферой связана одна из задач тысячелетия — гипотеза Пуанкаре, в которой утверждается, что всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно такой сфере. Эта гипотеза была доказана Г. Я. Перельманом в начале 2000-х годов на основе результатов Ричарда Гамильтона.

Компактные поверхности и их погружения в трёхмерное пространство
Класс гомеоформности компактной триангулируемой поверхности определяется ориентируемостью, числом компонент границы и эйлеровой характеристикой.
Без границы
С границей
Связанные понятия

Сфера 2: Арена — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

«Сфера 2: Арена» — это бесплатная онлайновая фэнтезийная MMORPG, ориентированная на сражениях игроков между собой на аренах. C 30 ноября 2012 года игра официально закрыта, сервера отключены^[1].

Главным отличием «Сфера II: Арена» от других MMORPG является игровая модель, ориентированная на сражения между игроками и кланами игроков. В «Сфере 2: Арена» не существует мобов пригодных для сражения, как в большинстве популярных онлайн-играх. Не существует и мира, который можно исследовать. Единственные персонажи в игре, которые управляются искусственным интеллектом — это торговцы^[2]. Однако, торговать можно не только с NPC — возможно обмена между игроками появляется у персонажей на 2 уровне, а с 3 уровня игроки могут объединяться в кланы.

В игре присутствуют две расы, у каждой из которых есть четыре игровых класса^[3].

• Врилы — вампиры. С их расой связаны многие предрасудки. Они не боятся света, серебра, чеснока и не превращаются в летучую мышь.
• Люди — люди первоначальное население мира «Сфера».

В игре имеется три арены^[4]:

1. Теснина Мертвецов (синий портал). Тип арены — захват флага. Играть и устанавливать ограничения можно на разные уровни, можно задавать пароль. Особенность Арены — замок врилов, на котором можно запрыгнуть на арматурную колону, что даёт преимущество при похищении или укрывательстве флага.
2. Чужая Святыня (красный портал). Тип арены — накопление ресурсов. Главная цель — захват и удержание кристаллов до окончания времени сражения или же набирание определённого количества ресурсов. Захват кристалла требует времени и возможен только в неподвижном состоянии. Атакуя игрока можно сбить захват. Отличительная особенность от синей арены в том, что здесь есть стена, защищающая респаун от противника.
3. Без названия. Тип арены — Team Deathmatch. На арене могут участвовать только персонажи выше 5 уровня. Особенность этой арены в возможности играть 1 на 1, на ней нет опыта, рейтинга и денег, поэтому она считается идеальной для дуэлей.

Типы сражений[править | править код]

Всего существует четыре вида сражений:

• Свободный — люди и врилы сражаются в одной команде;
• Клановый — сражения между кланами;
• Расовый — люди и врилы сражаются друг против друга.
• Бой за торговца — бой за покровительство над торговцем. Бои проходят в синей или красной аренах, максимум по 10 человек от клана.

О компании

Купить продукцию нашей компании – означает обеспечить собственное производство высокотехнологичными изделиями российского и зарубежного производства. Предлагаемая нами продукция надежная, долговечная, качественная, соответствует международным нормам и стандартам.

Ассортимент

Предприятие ООО «Сфера2К» на протяжении многих лет уверенно работает на промышленном рынке Смоленска, всего западного региона России. Компания является лидером по обеспечению ведущих производственных сфер Смоленщины и России в целом.

Перерабатывающие компании пользуются нашим эффективным сервисом для снабжения своих производств основными комплектующими изделиями:

• ремнями всех типоразмеров;
• остродефицитными подшипниками;
• оргстеклом;
• манжетами, хомутами, метизами;
• паронитом, капролоном, другими материалами, запчастями.

Преимущества

Выгоды от сотрудничества с нашей компанией существенны и неоспоримы:

• реальную экономию времени и денег вам принесет наличие у нас склада и офиса в одном месте;
• складское хозяйство предприятия содержит колоссальный ассортимент продукции, предназначенной для реализации;
• расчеты осуществляются в удобной для клиентов форме: безналичными, наличными в кассе;
• короткие сроки, полнейшая комплектация товаров;
• оригинальность продукции подтверждается выдачей паспортов качества, сертификатов соответствия;
• постоянным заказчикам предоставляются: отсрочки платежей, скидки, бесплатные консультации ведущих специалистов.

Покупая комплектующие и запчасти у нас, вы будете иметь полную уверенность в уникальности продукции, поскольку мы приобретаем товар у непосредственных производителей. Это позволяет напрямую контролировать качество и удерживать стоимость в низком ценовом диапазоне.

Трёхмерная сфера — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Стереографическая проекция параллелей гиперсферы (красная), меридианов (синий) и гипермеридианов (зелёный). В связи с конформными свойствами стереографической проекции, кривые пересекаются друг с другом ортогонально (в жёлтых точках), как в 4D. Все кривые являются окружностями: кривые, которые пересекаются имеют бесконечный радиус (то есть являются прямыми).

Трёхмерная сфера, или трёхмерная гиперсфера, иногда 3-сфера, — сфера в четырёхмерном пространстве. Состоит из множества точек, равноудалённых от фиксированной центральной точки в четырёхмерном евклидовом пространстве. Так же, как двумерная сфера, которая образует границу шара в трёх измерениях, 3-сфера имеет три измерения и является границей четырёхмерного шара.

В декартовых координатах (x0,x1,x2,x3){\displaystyle (x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})} трёхмерная сфера радиуса r{\displaystyle r} может быть задана уравнением

(x0−C0)2+(x1−C1)2+(x2−C2)2+(x3−C3)2=r2.{\displaystyle (x_{0}-C_{0})^{2}+(x_{1}-C_{1})^{2}+(x_{2}-C_{2})^{2}+(x_{3}-C_{3})^{2}=r^{2}.}

Рассматривая комплексное пространство C2{\displaystyle \mathbb {C} ^{2}} как вещественное R4{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}, уравнение сферы может быть рассмотрено как

S3={(z1,z2)∈C2:|z1|2+|z2|2=1}.{\displaystyle S^{3}=\left\{(z_{1},z_{2})\in \mathbb {C} ^{2}:|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}=1\right\}.}

Аналогично, в пространстве кватернионов h2{\displaystyle \mathbb {H} ^{1}}:

S3={q∈H:‖q‖=1}.{\displaystyle S^{3}=\left\{q\in \mathbb {H} :\|q\|=1\right\}.}

Являясь трёхмерным многообразием, трёхмерная сфера может быть задана параметрически с использованием трёх координат. Примером являются гиперсферические координаты:

x0=rcos⁡ψ,{\displaystyle x_{0}=r\cos \psi ,}

x1=rsin⁡ψcos⁡θ,{\displaystyle x_{1}=r\sin \psi \cos \theta ,}

x2=rsin⁡ψsin⁡θcos⁡ϕ,{\displaystyle x_{2}=r\sin \psi \sin \theta \cos \phi ,}

x3=rsin⁡ψsin⁡θsin⁡ϕ.{\displaystyle x_{3}=r\sin \psi \sin \theta \sin \phi .}

Трёхмерная сфера S3{\displaystyle S^{3}} является границей четырёхмерного шара.

Трёхмерная сфера является компактным связным трёхмерным многообразием. Трёхмерная сфера односвязна, то есть любая замкнутая кривая на неё может быть непрерывно стянута в точку.

Трёхмерная сфера гомеоморфна одноточечной компактификации трёхмерного вещественного пространства R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}.

Являясь множеством единичных кватернионов, трёхмерная сфера наследует групповую структуру.

Таким образом, сфера S3{\displaystyle S^{3}} является группой Ли. Среди n{\displaystyle n}-мерных сфер таким свойством обладают только S1{\displaystyle S^{1}} и S3{\displaystyle S^{3}}.

Используя матричное представление кватернионов, можно определить представление группы S3{\displaystyle S^{3}} с помощью матриц Паули:

x1+x2i+x3j+x4k↦(x1+ix2x3+ix4−x3+ix4x1−ix2).{\displaystyle x_{1}+x_{2}i+x_{3}j+x_{4}k\mapsto {\begin{pmatrix}\;\;\,x_{1}+ix_{2}&x_{3}+ix_{4}\\-x_{3}+ix_{4}&x_{1}-ix_{2}\end{pmatrix}}.}

Поэтому группа S3{\displaystyle S^{3}} изоморфна матричной группе Ли SU(2){\displaystyle \mathrm {SU} (2)}.

Действие группы U(1) и расслоение Хопфа[править | править код]

Если определить действие группы U(1){\displaystyle U(1)}:

(z1,z2)⋅λ=(z1λ,z2λ)∀λ∈U(1),{\displaystyle (z_{1},z_{2})\cdot \lambda =(z_{1}\lambda ,z_{2}\lambda )\quad \forall \lambda \in \mathbb {U} (1),}

то пространство орбит гомеоморфно двумерной сфере S2{\displaystyle S^{2}}. При этом на сфере S3{\displaystyle S^{3}} возникает структура расслоения с базой S2{\displaystyle S^{2}} и слоями, гомеоморфными U(1){\displaystyle U(1)}, то есть окружности S1{\displaystyle S^{1}}. Это расслоение называется расслоением Хопфа.^[1]

Расслоение Хопфа является примером нетривиального главного расслоения. В координатах оно задаётся формулой

p:(z1,z2)↦(z1:z2).{\displaystyle p:(z_{1},z_{2})\mapsto (z_{1}:z_{2}).}

Точка (z₁, z₂) сферы S3{\displaystyle S^{3}} отображается в точку [z₁: z₂] комплексной проективной прямой CP¹, которая диффеоморфна двумерной сфере S2{\displaystyle S^{2}}.

Односвязность сферы означает, что первая гомотопическая группа π1(S3)={0}{\displaystyle \pi _{1}(S^{3})=\{0\}}. Также нулевой является группа π2(S3)={0}{\displaystyle \pi _{2}(S^{3})=\{0\}}.

1. ↑ Постников М. М. Лекции по алгебраической топологии, с. 20. — Москва, Наука, 1984.

• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М., 1989.

• Weisstein, Eric W. Hypersphere (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. (англ.) Примечание: В данной статье используются альтернативные схемы именования для сфер, в которых сфера в N-мерном пространстве называется N-сферой.