A 2 и b 2: Attention Required! | Cloudflare – Attention Required! | Cloudflare

Содержание

Прыжки Виета — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

У этого термина существуют и другие значения, см. Виет.

В математике прыжками Виета (или отражением корней) называется метод доказательства, используемый в теории чисел. Наиболее часто он применяется для задач, в которых дано соотношение между двумя натуральными числами и требуется доказать некоторое связанное с ними утверждение. Существует несколько вариаций метода прыжков Виета, которые так или иначе связаны с общей темой бесконечного спуска, где из данного решения находится новое (меньшее) решение с помощью формул Виета.

Прыжки Виета — это относительно новый метод решения олимпиадных математических задач. Первая такая задача была предложена на 29-й международной математической олимпиаде в 1988 году, причём эта задача считалась наиболее сложной из предложенных на олимпиаде:^[1]

Никто из шести членов австралийской задачной комиссии не смог решить эту задачу. Двое из них — Дьёрдь Секереш и его жена, оба известные решатели и составители задач. Так как это была задача по теории чисел, она была отправлена четырем самым известным австралийским математикам — специалистам в этой области. Им было предложено работать над ней в течение шести часов. Ни один из них не смог решить её за это время. Задачная комиссия представила ее в жюри 29-й ММО, отметив двумя звездочками. Это означало, что задача сверхсложная; возможно даже, слишком сложная для того, чтобы ее предлагать участникам олимпиады. После долгого обсуждения жюри всё-таки отважилось предложить её в качестве последней задачи на олимпиаде. Одиннадцать школьников представили её точные решения.Артур Энгель

Среди одиннадцати школьников, получающих максимальный балл за решение этой задачи, был будущий Филдсовский лауреат Нго Бао Тяу.

[2]

Стандартные прыжки Виета проводят доказательство от противного в три шага:^[3]

Предполагается, что существуют числа, связанные данным соотношением, но не удовлетворяющие доказываемому утверждению.
Рассматривается минимальное решение (A, B) относительно некоторой функции (например, A + B). Затем исходное соотношение преобразуется в квадратное уравнение с коэффициентами, зависящими от B, и один из корней которого равен A. Используя формулы Виета, находится второй корень этого уравнения.
Показывается, что второй корень даёт решение, которое имеет меньшее значение выбранной функции. Таким образом, получается противоречие с минимальностью значения функции на исходном решении, а поэтому предположение из шага 1 является ложным.

Пример

ММО 1988, задача №6. Пусть a и b — положительные целые числа такие, что ab + 1 делит a² + b². Докажите, что a² + b²ab + 1 — это полный квадрат.^[4]^[5]

Пусть k = a² + b²ab + 1. Предположим, что существует какое-то решение, для которого k не является полным квадратом.
Для такого значения k, рассмотрим решение (A,B), минимизирующее значение A + B. Без потери общности можно считать, что A ≥ B. Переписывая выражение для k и заменяя A на x, получаем квадратное уравнение x² – (kB)x + (B² – k) = 0. По построению x₁ = A является корнем этого уравнения. По формулам Виета второй корень может быть представлен в виде x₂ = kB
– A = B² – kA.
Из первого выражения для x₂ следует, что x₂ является целым числом, а из второго — что x₂ ≠ 0. Так как k = x₂² + B²x₂B + 1 > 0, то x₂ является положительным. Наконец, из A ≥ B следует, что x₂ = B² − kA < A и поэтому x₂ + B < A + B, что противоречит минимальности решения (A,B).

Метод непрерывного спуска прыжками Виета используется для доказательства некоторого утверждения о постоянной k, зависящей от соотношения между целыми числами a и b. В отличие от стандартных прыжков Виета, непрерывный спуск не является доказательством от противного и состоит из следующих четырех шагов:^[6]

Отдельно рассматривается случай равенства
a = b. В дальнейшем предполагается, что a > b.
Фиксируются значения b и k. Соотношение между a, b и k приводится к форме квадратного уравнения с коэффициентами зависящими от b и k, одним из корней которого является x₁ = a. Другой корень x₂ определяется с помощью формул Виета.
Показывается, что для всех (a,b) больших некоторых базовых значений, выполняется неравенство 0 < x₂ < b < a, причём x₂ является целым числом. Таким образом, от решения (a,b) можно спуститься к решению (b, x₂) повторять этот процесс, пока не получится решение с базовыми значениями.
Утверждение доказывается для базовых значений. Так как k остаётся неизменным в процессе спуска, отсюда следует справедливость доказываемого утверждение для всех упорядоченных пар (
a,b).

Пример

Пусть положительные целые числа a и b таковы, что ab делит a² + b² + 1. Требуется доказать, что 3ab= a² + b² + 1.^[7]

Если a = b, то a² должно делить 2a² + 1. Откуда a = b = 1 и поэтому 3(1)(1) = 1² + 1² + 1. В дальнейшем без потери общности считаем, что a > b.
Пусть k = a² + b² + 1ab. Преобразованием этого равенства и заменой a на x, получаем квадратное уравнение x² − (kb)x + (b² + 1) = 0, одним из корней которого является x₁ = a. По формулам Виета второй корень может быть представлен в виде: x₂ =

kb − a = b² + 1a.
Первое представление показывает, что x₂ является целым числом, а второе представление, что это число положительно. Неравенство a > b влечёт, что x₂ = b² + 1a < b, если b > 1.
Таким образом, базовым случаем является значение b = 1. При этом значение a должно делить a² + 2, и поэтому a равно 1 или 2. Случай a = 1 невозможен, поскольку a ≠ b. В случае a = 2 имеем k = a² + b² + 1ab = 62 = 3. Так как значение k не менялось в процессе спуска, получаем, что a² + b² + 1ab = 3, т.е. 3ab= a² + b² + 1, для всех упорядоченных пар (a,b).

Прыжки Виета могут быть описаны в терминах целых точек на гиперболах в первом квадранте.

[1] При этом процесс нахождения меньшего корня соответствует поиску меньших целых точек на гиперболе в пределах первого квадранта. Этот процесс может быть описан следующим образом:

Из данного условия получается уравнение семейства гипербол, которые не изменяются при перестановке x и y местами. Другими словами, эти гиперболы симметричны относительно прямой y = x.
Требуемое утверждение доказывается для точек пересечения гипербол и прямой y = x.
Предполагается, что (x, y) — целая точка на некоторой гиперболе, причём без потери общности x < y. Тогда по формулам Виета, находится целая точка тем же значением первой координаты на другой ветви гиперболы. Тогда отражением этой точки относительно прямой y = x получается новая целая точка на исходной ветви гиперболы.
Показывается, что этот процесс приводит к нахождению меньших точек на той же ветви параболы, пока выполняется определенное условие (например,
x = 0). Подставляя это условие в уравнение гиперболы, проверяется, что для него выполняется доказываемое утверждение.

Пример

Применим описанный метод к задаче №6 с ММО 1988:
Пусть a и b — положительные целые числа такие, что ab + 1 делит a² + b². Докажите, что a² + b²ab + 1 — это полный квадрат.

Пусть a² + b²ab + 1 = q. Зафиксируем значение q и рассмотрим гиперболу H, задаваемую уравнением x² + y² − qxy − q = 0. Тогда (a,b) является точкой на этой гиперболе.
Если x = y, то x = y = q = 1, что тривиально удовлетворяет утверждению задачи.
Пусть (x, y) — это целая точка на «верхней» ветви гиперболы
H с x < y. Тогда из формул Виета следует, что (x, qx − y) — это целая точка на «нижней» ветви гиперболы H. Отражением этой точки является точка (qx − y, x) на исходной «верхней» ветви. У полученной точки вторая координата меньше чем у исходной, а значит она находится ниже исходной точки.
Этот процесс может быть повторен. Из уравнения гиперболы H следует, что при этом получаемые точки остаются в пределах первого квадранта. Таким образом, повторение процесса закончится при получении значения x = 0. Его подстановка в уравнение гиперболы H даёт q = y², что и требовалось доказать.

Ответы@Mail.Ru: а^2+b^2=(a-b)(a+b)????

a^2 + b^2= a^2 + 2*a*b + b^2

Выражение справа — разность квадратов.
a^2 — b^2 = (a-b)(a+b)

это тождество
исходим из правой части равенства
(a-b)(a+b)=a^2-ab+ab-b^2(сокращаем -ab и +ab(получится 0))
остается a^2-b^2 а не a^2 + b^2

сумма квадратов на произведение НЕ раскладывается.
[1] ( a + b )² = a² + 2ab + b² ,

[2] ( a – b )² = a² – 2ab + b² ,

[3] ( a + b ) ( a – b ) = a² – b²,

[4] ( a + b )³ = a³ + 3a² b + 3ab² + b³ ,

[5] ( a – b )³ = a ³ – 3a² b + 3ab² – b³ ,

[6] ( a + b )( a² – ab + b² ) = a³ + b³ ,

[7] ( a – b )( a ² + ab + b² ) = a³ – b³

a^2+b^2=a^2+ab-ab-b^2
a^2+b^2=a^2-b^2
2*b^2=0

я токое незнаю

а^2+b^2=(a+b)^2-2ab и только так) )

(a-b)(a+b)=a^2-b^2

да формулы сокращённого умножения

нет, это не правильно,
ТОЛЬКО: a^2 — b^2 = (a-b)(a+b)
обрати внимание на минус между квадратами a и b

Калькулятор онлайн — Упрощение многочлена (умножение многочленов) (с подробным решением)

С помощью данной математической программы вы можете упростить многочлен.

В процессе работы программа:

— умножает многочлены

— суммирует одночлены (приводит подобные)

— раскрывает скобки

— возводит многочлен в степень

Программа упрощения многочленов не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение
с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы вы могли проконтролировать свои знания по математике и/или алгебре.

Данная программа может быть полезна учащимся общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.

Примеры подробного решения >>

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.

Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

Произведение одночлена и многочлена. Понятие многочлена

Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов.
Приведем примеры таких выражений:

\( 5a^4 — 2a^3 + 0,3a^2 — 4,6a + 8 \)

\( xy^3 — 5x^2y + 9x^3 — 7y^2 + 6x + 5y — 2 \)

Сумму одночленов называют многочленом. Слагаемые в многочлене называют членами многочлена. Одночлены также относят к многочленам,
считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена.

Например, многочлен

\( 8b^5 — 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 — 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)

можно упростить.

Представим все слагаемые в виде одночленов стандартного вида:

\( 8b^5 — 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 — 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)

\( = 8b^5 — 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Приведем в полученном многочлене подобные члены:

\( 8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)

Получился многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, причем среди них нет подобных.
Такие многочлены называют многочленами стандартного вида.

За степень многочлена стандартного вида принимают наибольшую из степеней его членов.
Так, двучлен \( 12a^2b — 7b \) имеет третью степень, а трехчлен \( 2b^2 -7b + 6 \) — вторую.

Обычно члены многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, располагают в порядке убывания показателей ее степени.
Например:

\( 5x — 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 — 18x^3 + 5x + 1 \)

Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в многочлен стандартного вида.

Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки. Поскольку заключение в скобки — это
преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок:

Если перед скобками ставится знак «+», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками.

Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками.

Преобразование (упрощение) произведения одночлена и многочлена

С помощью распределительного свойства умножения можно преобразовать (упростить) в многочлен произведение одночлена и многочлена. Например:

\( 9a^2b(7a^2 — 5ab — 4b^2) = \)

\( = 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)

\( = 63a^4b — 45a^3b^2 — 36a^2b^3 \)

Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.

Этот результат обычно формулируют в виде правила.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.

Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.

Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов

Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.

Обычно пользуются следующим правилом.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные
произведения.

Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов

С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто
встречаются выражения \( (a + b)^2, \; (a — b)^2 \) и \( a^2 — b^2 \), т. е. квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов.
Вы заметили, что названия указанных выражений как бы не закончены, так, например, \( (a + b)^2 \) — это, конечно, не просто квадрат
суммы, а квадрат суммы а и b. Однако квадрат суммы а и b встречается не так уж часто, как правило, вместо букв а и b в нем
оказываются различные, иногда довольно сложные выражения.

Выражения \( (a + b)^2, \; (a — b)^2 \) нетрудно преобразовать (упростить) в многочлены стандартного вида, собственно, вы уже встречались с
таким заданием при умножении многочленов:

\( (a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)

\( = a^2 + 2ab + b^2 \)

Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок. Помогают этому краткие словесные формулировки.

\( (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) — квадрат суммы равен сумме квадратов и удвоенного произведения.

\( (a — b)^2 = a^2 + b^2 — 2ab \) — квадрат разности равен сумме квадратов без удвоенного произведения.

\( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \) — разность квадратов равна произведению разности на сумму.

Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно — правые части левыми.
Самое трудное при этом — увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько
примеров использования формул сокращенного умножения.

а1, a2, b1, b2 как оценивается

Главная→
Уровни знания иностранных языков

* — уровни знания английского, французского, итальянского, испанского и других европейских языков.

Очень часто взрослые люди, приходящие на курсы английского языка, не могут адекватно оценить свой уровень. Большинство из них говорят, что хотели бы начать с уровня попроще, а еще лучше с нуля.

Одна девушка, придя обучаться, попала на базовый уровень. На первом занятии она категорично сообщила, что не знает ничего кроме алфавита и «My name is». Через три месяца она обогнала своих одногруппников и блестяще сдала экзамен. Еще через год, пройдя программу, рассчитанную на два года, она сдала экзамен на сертификат уровня достаточного для работы и учебы заграницей. Был ли это результат упорного труда или ранее приобретенных знаний, скорее всего и то и другое. Этот случай не единственный, поэтому зачастую студенты начинают мигрировать из группы в группу в поисках подходящего уровня. Разумеется, бывает и наоборот, когда человек переоценивает свои возможности и просится на уровень заведомо выше, чем позволяют его знания. Это также неправильно и нежелательно, поскольку далеко не всегда работает формула «тянуться за теми, кто сильнее», чаще человеку, которому многое непонятно, поскольку он не имеет соответствующей базы, становится тяжело и неинтересно учиться.

Одна из основных систем определения уровня владения языком — это CEFR (Common European Framework of Reference for Languages). CEFR или Общеевропейская система оценки знания иностранных языков — система, разработанная Советом Европы, используется для определения уровня владения иностранным языком.

Смысл CEFR – метод оценки и обучения, применимый для всех европейских языков. В CEFR уровни делятся на 6: А (А1 и А2) – элементарное владение, B (B1 и B2) — самостоятельное владение, C (C1 и C2) – свободное владение.

Система CEFR используется, в том числе, и в английском, немецком и испанском языках.

Уровни знания английского языка (таблица)

Таблица уровней знания иностранных языков составлена руководством школы «Белый Кролик», при копировании указывайте ссылку на наш сайт.

Уровень по CEFR	Уровень владения английским	Кэмбриджский экзамен (для английского языка)	Что это значит (на примере английского)
—	Absolute Beginner (начинающий с нуля)	—	Если вы никогда не изучали английский язык (не сложилось или изучали, но немецкий или французский), смело можете назвать себя Absolute Beginner (начинающий с нуля). В этом случае добро пожаловать на курс, который начнется прямо с алфавита.
—	False Beginner (псевдо-начинающий)	—	Если вы изучали английский в школе или в другом учебном заведении, но это было давно и неправда, и вы уже благополучно все забыли, то вы – False Beginner (псевдо-начинающий). Ваше обучение начнется не с алфавита и счета от одного до десяти, а с простых предложений и основных времен.
А1 Уровень выживания (Breakthrough)	Elementary (начальный)	—	Если уроки английского в школе оставили какой-то отпечаток, и вы помните некоторые слова и фразы, можете, не торопясь, сообщить о себе основную информацию и понять простой вопрос, пусть и не с первого раза, то вам нужно идти на уровень Elementary (начальный).
А2 Предпороговый уровень (Waystage)	Pre-intermediate (подготовительный средний)	KET	Если вы не испугаетесь иностранца, обратившегося к вам на английском языке, а попросите его повторить вопрос и не только поймете, но сможете объяснить, как найти ближайшую гостиницу, если вы примерно помните количество времен в английском языке, можете прочитать простой текст и написать короткую записку, то ваш уровень называется Pre-intermediate (подготовительный средний).
В1 Пороговый уровень (Threshold)	Intermediate (средний)	PET	Если вы можете более или менее уверенно выражать свои мысли, знаете и используете большинство распространенных грамматических конструкций, читаете простые книги, периодически заглядывая в словарь и в состоянии написать приятелю подробное письмо на тему «Как я провел лето», вы находитесь на уровне Intermediate (средний).
B2 Пороговый продвинутый уровень (Vantage) или pre-B2	Pre-Upper-Intermediate (подготовительный высокий)	—	Если вы говорите уверенно, но с ошибками, в состоянии обсудить почти любую тему, не особенно заботясь о богатстве своего словарного запаса, вы неплохо знаете грамматику, но не всегда правильно ее применяете, если вам указывают на ошибку вы говорите «ой» и тут же вспоминаете нужное правило, можете написать практически любой текст, хотя не всегда различаете стили (например, вставляете разговорную лексику в официальное письмо), понимаете большую часть разговорной речи, и даже пытаетесь читать книги без словаря, то у вас скорей всего уровень Pre-Upper-Intermediate (подготовительный высокий).
B2 Пороговый продвинутый уровень (Vantage)	Upper-Intermediate (высокий)	FCE	Если вы твердо знаете грамматику, за исключением нюансов, и не только знаете, но и более менее правильно ее применяете, если вы в состоянии смотреть фильмы и передачи в оригинале, читаете английских классиков (кроме Диккенса), беседуете с носителями языка для удовольствия, и владеете различными стилями английской письменной речи, то у вас типичный Upper-Intermediate (высокий).
С1 Уровень профессионального владения (Effective Operational Proficiency) или pre-C1	Pre-Advanced (почти продвинутый)	—	Если вы уже не мальчик, но еще не муж, т.е. предыдущий уровень вы уже покорили, но не используете английский также свободно, как свою родную речь, и незнакомы с основными нюансами английской грамматики (исключениями), то прежде чем отправится покорять уровень Advanced, лучше попробовать свои силы на уровне Pre-Advanced (почти продвинутый).
С1 Уровень профессионального владения (Effective Operational Proficiency)	Advanced (продвинутый)	CAE	Если вы читаете в оригинале не в образовательных целях, а исключительно ради удовольствия, смотрите английские фильмы в оригинале, потому что перевод не передает всего богатства шуток, знаете не только основную грамматику, но нюансы и исключения, и давно уже используете язык не в качестве цели, а в качестве средства, то у вас уровень Advanced (продвинутый).

Чтобы узнать ваш уровень знания языка пройдите пробное занятие с преподавателем. 30 минут — бесплатно!

Записаться на пробный урок

Перейти к странице с описанием скайп-курсов:

Уровни изучения иностранного языка от A1 до C2

Компетенция	A1	A2	B1	B2	C1	C2
ПОНИМАНИЕ Аудирование	Я понимаю отдельные знакомые слова и очень простые фразы в медленно и четко звучащей речи в ситуациях повседневного общения, когда говорят обо мне, моей семье и ближайшем окружении	Я понимаю отдельные фразы и наиболее употребительные слова в высказываниях, касающихся важных для меня тем (например, основную информацию о себе и своей семье, о покупках, о месте, где я живу, о работе). Я понимаю, о чем идет речь в простых, четко произнесенных и небольших по объему сообщениях и объявлениях.	Я понимаю основные положения четко произнесенных высказываний в пределах литературной нормы на известные мне темы, с которыми приходится иметь дело на работе, в школе, на отдыхе и т.д. Я понимаю, о чем идет речь во многих радио- и телепрограммах о текущих событиях, а также в передачах, связанных с моими личными и профессиональными интересами. Речь говорящих должна быть при этом четкой и относительно медленной.	Я понимаю развернутые доклады и лекции и содержащуюся в них сложную аргументацию, если тематика этих выступлений мне достаточно знакома. Я понимаю почти все новости и репортажи о текущих событиях. Я понимаю содержание большинства фильмов, если их герои говорят на литературном языке.	Я понимаю развернутые сообщения, даже если они имеют нечеткую логическую структуру, и смысловые связи не выражены эксплицитно. Я почти свободно понимаю все телевизионные программы и фильмы.	Я свободно понимаю любую разговорную речь при непосредственном и опосредованном общении. Я свободно понимаю речь носителя языка, говорящего в быстром темпе, если у меня есть времмя привыкнуть к индивидуальным особенностям его произношения.
ПОНИМАНИЕ Чтение	Я понимаю знакомые имена, слова,а также очень простые предложения в объявлениях, плакатах и каталогах	Я понимаю очень короткие простые тексты. Я могу найти конкретную, легко предсказуемую информацию в простых текстах повседневного общения: в рекламах, проспектах, меню, расписаниях. Я понимаю простые письма личного характера.	Я понимаю тексты, построенные на частотном языковом материале повседневного и профессионального общения. Я понимаю описание событий, чувств, намерений в письмах личного характера. Я умею читать тексты по широкому кругу проблем, которые знакомы мне или представляют для меня интерес.	Я понимаю статьи и сообщения по современной проблематике, авторы которых занимают особую точку зрения. Я понимаю современную художественную литературу.	Я понимаю большие сложные художественные и нехудожественные тексты, их стилистические особенности. Я понимаю также специальные статьи и технические инструкции большого объема, даже если они не касаются сферы моей деятельности.	Я свободно понимаю все типы текстов, включая тексты абстрактного характера, сложные в композиционном или языковом отношении: инструкции, специальные статьи и художественные произведения.
ГОВОРЕНИЕ Диалог	Я могу принимать участие в диалоге, если мой собеседник повторяет по моей просьбе в замедленном темпе свое высказывание или перефразирует его, а также помогает мне сформулировать то, что я пытаюсь сказать. Я могу задавать простые вопросы и отвечать на них в рамках известных или интересующих меня тем.	Я умею общаться в простых типичных ситуациях, требующих непосредственного обмена информацией в рамках знакомых мне тем и видов деятельности. Я могу поддержать предельно краткий разговор на бытовые темы, и все же понимаю недостаточно, чтобы самостоятельно вести беседу.	Я умею общаться в большинстве ситуаций, возникающих во время пребывания в стране изучаемого языка, однако испытываю нехватку словаря. Я могу почти без предварительной договоренности участвовать в диалогах на известную мне / интересующую меня тему (например, семья, хобби, работа, путешествие, текущие события). Я умею без подготовки участвовать в диалогах по широкому кругу тем, которые знакомы мне или представляют для меня интерес.	Я умею без подготовки довольно свободно участвовать в беседе с носителями изучаемого языка. Я могу принимать активное участие в дискуссии по знакомой мне проблеме, обосновывать и отстаивать свою точку зрения.	Я умею спонтанно и бегло, не испытывая трудностей в подборе слов, выражать свои мысли. Моя речь отличается разнообразием языковых средств и точностью их употребления в ситуациях профессионального или повседневного общения. Я умею точно формулировать свои мысли и выражать свое мнение, а также активно поддерживать любую беседу.	Я могу свободно участвовать в любом разговоре или дискуссии, владею разнообразными идиоматическими и разговорными выражениями. Я бегло высказываюсь и умею выражать любые нюансы значения. Если у меня возникают трудности в использовании языковых средств, я умею быстро и незаметно для окружающих перефразировать свое высказывание.
ГОВОРЕНИЕ Монолог	Я умею, используя простые предложения, рассказать о месте, где живу, и людях, которых знаю.	Я могу, используя простые фразы, рассказать о своей семье и других людях, условиях жизни, учебе, настоящей и прежней работе.	Я могу кратко объяснять и обосновывать свои планы, намерения, точку зрения и т.д. Я могу изложить содержание книги, фильма и выразить свое отношение.	Я могу понятно и обстоятельно высказаться по широкому кругу интересующих меня вопросов. Я могу объяснить свою точку зрения по актуальной проблеме, высказывая все аргументы <за> и <против>.	Я умею понятно и обстоятельно излагать сложные темы, объединив в единое целое составные части, развивать отдельные положения и делать соответствующие выводы.	Я умею бегло, свободно и аргументировано высказываться, используя соответствующие языковые средства в зависимости от ситуации. Я умею логически построить свое сообщение таким образом, чтобы привлечь внимание слушателей и помочь им отметить и запомнить наиболее важные положения.
ПИСЬМО	Я умею писать простые открытки (например, поздравления с праздником), заполнять формуляры, вносить свою фамилию, национальность, адрес в регистрационный листок в гостинице.	Я умею писать простые короткие записки и сообщения. Я могу написать несложное письмо личного характера (например, выразить кому-либо свою благодарность за что-либо).	Я могу написать простой связный текст на знакомую или интересующую меня тему. Умею писать письма личного характера, сообщая в них о своих личных переживаниях и впечатлениях. Я умею писать понятные подробные сообщения по широкому кругу интересующих меня вопросов.	Я умею писать эссе или доклады, освещая вопросы и аргументируя точку зрения <за> или <против>. Я умею писать письма, выделяя те события и впечатления, которые являются для меня особенно важными.	Я умею четко и логично выражать свои мысли в письменной форме и подробно освещать свои взгляды. Я умею подробно излагать в письмах, сочинениях, докладах сложные проблемы, выделяя то, что мне представляется наиболее важным. Я умею использовать языковой стиль, соответствующий предполагаемому адресату.	Я умею логично и последовательно выражать свои мысли в письменной форме, используя при этом необходимые языковые средства. Я умею писать сложные письма, отчеты, доклады или статьи, которые имеют четкую логическую структуру, помогающую реципиенту отметить и запомнить наиболее важные моменты. Я умею писать резюме и рецензии как на работы профессионального характера, так и на художественные произведения.