Основная функция: Основная функция — это… Что такое Основная функция? – Пространство основных функций — Википедия

Содержание

Основная функция — это… Что такое Основная функция?

Обобщённая фу́нкция или распределе́ние — математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции. Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах.

Понятие обобщённой функции даёт возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки, точечного заряда, точечного диполя, (пространственную) плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного источника и т. д.

С другой стороны, в понятии обобщённой функции находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физической величины в точке, а можно измерять лишь её средние значения в малых окрестностях данной точки. Таким образом, техника обобщённых функций служит удобным и адекватным аппаратом для описания распределений различных физических величин.

Обобщённые функции были введены впервые в конце 20-х годов XX в. Дираком в его исследованиях по квантовой механике, где он систематически использует понятие δ-функции и её производных.

Основы математической теории обобщённых функций были заложены Соболевым при решении задачи Коши для гиперболических уравнений, а в 50-х годах Шварц дал систематическое изложение теории обобщённых функций и указал многие применения.

В дальнейшем теория обобщённых функций интенсивно развивалась многими математиками и физиками-теоретиками, главным образом в связи с потребностями теоретической и математической физики и теории дифференциальных уравнений ^[1].

Определение

— совокупность финитных $C^\infty$ -функций на $\R^n$ , снабжённая естественной для неё топологией: последовательность функций из $D(\R^n)$ сходится, если их носители принадлежат фиксированному шару и в нём они $C^\infty$ -сходятся.

Сопряжённое пространство к $D(\R^n)$ есть пространство обобщённых функций .

Сходимость последовательности обобщённых функций из определяется как слабая сходимость функционалов из , то есть $f_n\to f$ , в означает, что $(f_n,\;\varphi)\to(f,\;\varphi)$ , для любой $\varphi\in D(\R^n)$ .

Для того, чтобы линейный функционал f на $D(\R^n)$ был обобщённой функцией, то есть $f\in D$ , необходимо и достаточно, чтобы для любого ограниченного открытого множества Ω существовали числа K и m такие, что

$f\in D$

для всех $\varphi$ с носителем в Ω.

Если в неравенстве число m можно выбрать не зависящим от Ω, то обобщённая функция f имеет конечный порядок; наименьшее такое m называется порядком f.

Простейшими примерами обобщённых функций являются функционалы, порождаемые локально суммируемыми функциями

$(f,\;\varphi)=\int\limits_{\R^n}f\varphi.$

Обобщённые функции, определяемые локально суммируемыми в функциями f(x) по этой формуле, называются регулярными; остальные обобщённые функции называются сингулярными.

Обобщённые функции вообще говоря, не имеют значений в отдельных точках. Тем не менее можно говорить о совпадении обобщённой функции с локально суммируемой функцией на открытом множестве: обобщённая функция f из совпадает в Ω с локально суммируемой в Ω функцией f₀(x), если

$(f,\;\varphi)=(f_0,\;\varphi)$

для всех $\varphi$ с носителм в Ω. В частности, при f₀ = 0 получается определение того, что обобщённая функция f обращается в нуль внутри Ω.

Множество точек, ни в какой окрестности которых обобщённая функция не обращается в ноль, называется носителем обобщённой функции f и обозначается $\mathrm{supp}\,f$ . Если $\mathrm{supp}\,f$ компактен, то обобщённая функция f называется финитной.

Примеры

Любая локально конечная мера μ определяет обобщённую функцию f_μ

$(f_\mu,\;\varphi)=\int\varphi(x)\,d\mu(x).$

В частности,

Примером сингулярной обобщённой функции в $\R^n$ служит δ-функция Дирака

$(\delta,\;\varphi)=\varphi(0).$

Она описывает плотность массы 1, сосредоточенной в точке x = 0. δ-функция имеет порядок 1.

Поверхностная δ-функция. Пусть S — кусочно гладкая поверхность и λ — непрерывная функция на S. Обобщённая функция $f_{S,\;\lambda}$ определяется равенством

$(f_{S,\;\lambda},\;\varphi)=\int\limits_S\varphi\lambda.$

При этом $f_{S,\;\lambda}$ — сингулярная обобщённая функция. Эта обобщённая функция описывает пространственную плотность масс пли зарядов, сосредоточенных на поверхности S с поверхностной плотностью λ (плотность простого слоя).

Обобщённая функция $\rho\in D$ определяемая равенством

$(\rho,\;\varphi)=\int\limits_\R\frac{\varphi(x)}{x}\,dx$

(для гладких финитных функций этому интегралу можно придать смысл) функция ρ сингулярна и её порядок равен 2, однако на открытом множестве $\R\backslash\{0\}$ она регулярна и совпадает с $\frac{1}{x}$ .

Операции

Линейные операции над обобщёнными функциями вводятся как расширение соответствующих операций над основными функциями.

Замена переменных

Пусть $f\in D$ и $A:\R^n\to\R^n$ — гладкая замена переменных. Обобщённая функция $f\circ A$ определяется равенством

$(f\circ A,\;\varphi)=(f,\;\varphi\circ A^{-1}J(A)),$

где J(A) обозначает якобиан A. Эту формулу можно применять в частности к линейному отображению A, она позволяет определить трансляционно инвариантные, сферически симметричные, центрально симметричные, однородные, периодические, лоренц-инвариантные и т. д. обобщённые функции.

Произведение

Чаще всего определяется произведение обобщённых функций на обычные, а произведение обобщённых функций остается неопределенным.

Пусть $f\in D$ и $a\in C^\infty(\R^n)$ . Произведение af = fa определяется равенством

$(af,\;\varphi)=(f,\;a\varphi).$

Например aδ = a(0)δ, xρ = 1. Для обычных локально суммируемых функций произведение af совпадает с обычным умножением функций f(x) и a(x).

Однако эта операция произведения вообще говоря не допускает распространения на любые обобщённые функции так, чтобы она была ассоциативной и коммутативной.

Действительно, в противном случае получилось бы противоречие:

$(x\delta)\rho=0\cdot\rho=0,$

$(x\rho)\delta=1\cdot\delta=\delta.$

В частности, Ю. М. Широков построил некоммутативную алгебру обобщённых функций^[2]^[3].

Дифференцирование

Пусть $f\in D$ . Обобщённая (слабая) производная обобщённой функции $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ определяется равенством

$\left(\frac{\partial f}{\partial x_i},\;\varphi\right)=-\left(f,\;\frac{\partial\varphi}{\partial x_i}\right).$

Так как операция $\varphi\mapsto\frac{\partial\varphi}{\partial x_i}$ линейна и непрерывна из $D(\R^n)$ в $D(\R^n)$ , то функционал, определяемый правой частью равенства, есть обобщённая функция.

Свойства

Пространство — полное: если последовательность обобщённых функций f_i из такова, что для любой функции $\varphi\in D(\R^n)$ числовая последовательность $(f_i,\;\varphi)$ сходится, то функционал

$(f,\;\varphi)= \lim_{i\to\infty}(f_i,\;\varphi)$

принадлежит

Примеры

Дельта-функция получается при вычислении интеграла Фурье от константы:

$\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{ipx}\,dp=2\pi\delta(x).$

Примечания

↑ Обобщенные функции и действия над ними.
↑ Ю. М. Широков, Алгебра одномерных обобщенных функций. — Теоретическая и математическая физика. — 1979. — том 39. — № 3. — стр. 291—301.
↑ Г. К. Толоконников. Об Алгебрах Ю. М. Широкова. — Теоретическая и математическая физика. — 1979. — том 39. — № 3. — стр. 366—375.

См. также

Wikimedia Foundation.
2010.

Пространство основных функций — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Пространство основных функций — структура, с помощью которой строится пространство обобщённых функций (пространство линейных функционалов на пространстве основных функций).

Обобщённые функции имеют большое значение в математической физике, а пространство основных функций используется как основа для строительства обобщённых функций (формально это область определения соответствующих обобщенных функций). Дифференциальные уравнения рассматриваются в т. н. слабом смысле, то есть рассматривается не поточечное равенство, а равенство соответствующих регулярных линейных функционалов на подходящем пространстве основных функций. См. пространства Соболева.

Обычно в качестве пространства основных функций D(Ω){\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )} выбирается пространство бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем (т. н. финитных функций) C0∞(Ω){\displaystyle C_{0}^{\infty }(\Omega )}, на котором вводится следующая сходимость (а значит и топология):

Последовательность {uj}j=1∞⊂D(Ω){\displaystyle \left\{u_{j}\right\}_{j=1}^{\infty }\subset {\mathcal {D}}(\Omega )} сходится к u∈D(Ω){\displaystyle u\in {\mathcal {D}}(\Omega )}, если:

Функции uj{\displaystyle u_{j}} равномерно финитны, то есть ∃K{\displaystyle \exists K} — компакт в Ω{\displaystyle \Omega } и в том числе ∀jsuppuj⊂K{\displaystyle \forall j\;\mathrm {supp} \,u_{j}\subset K}.
∀αDαuj(x)→Dαu(x){\displaystyle \forall \alpha \;D^{\alpha }u_{j}(x)\to D^{\alpha }u(x)} равномерно по x{\displaystyle x}.

Здесь Ω{\displaystyle \Omega } — ограниченная область в Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}.

Для вопросов преобразования Фурье используются обобщённые функции медленного роста. Для них в качестве основного выбирается класс Шварца S=S(Rn){\displaystyle {\mathcal {S}}={\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})} — бесконечно гладких на Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} функций, убывающих при |x|→∞{\displaystyle |x|\to \infty } быстрее любой степени |x|−1{\displaystyle |x|^{-1}} вместе со всеми своими производными. Сходимость на нём определяется следующим образом: последовательность функций ϕ1,ϕ2,…{\displaystyle \phi _{1},\phi _{2},\dots } сходится к ϕ∗{\displaystyle \phi ^{*}}, если

∀α,β∈N |x|αDβϕj(x)→|x|αDβϕ∗(x){\displaystyle \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {N} \ |x|^{\alpha }D^{\beta }\phi _{j}(x)\to |x|^{\alpha }D^{\beta }\phi ^{*}(x)} равномерно по x{\displaystyle x}.

Выбор класса Шварца для построения преобразования Фурье на пространстве обобщенных функций обуславливается тем, что преобразование Фурье является автоморфизмом на классе Шварца.

Основная функция Википедия

Обобщённая фу́нкция или распределе́ние — математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции.
Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах.

С другой стороны, в понятии обобщённой функции находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физической величины в точке, а можно измерять лишь её средние значения в малых окрестностях данной точки.
Таким образом, техника обобщённых функций служит удобным и адекватным аппаратом для описания распределений различных физических величин. Математика начала XX века не имела нужных строгих формализмов для оперирования с новым классом зависимостей величин, открытых в физике.

Важный вклад в формирование нового математического подхода к понятию функции в физике принадлежит Η. Μ. Гюнтеру, который предлагал рассматривать вместо точечных характеристик типа плотности соответствующие функции множеств еще в 1916 году^[1] и пытался переосмылить на этой основе понятие решения уравнения математической физики. Однако Н.М. Гюнтер не связывал эти идеи с нарождающимся функциональным анализом и квантовой механикой. Фундаментальные идеи, основанные на использовании пространств финитных функций и принципиально новом понятии обобщенной производной были сформулированы в 1935 году С. Л. Соболевым^[2]. К аналогичным идеям самостоятельно через десять лет пришел выдающийся французский математик Л. Шварц, привлекший разработанную к тому времени теорию локально выпуклых пространств и построивший преобразование Фурье обобщенных функций^[3]. Соболев и Шварц являются создателями теории распределений — обобщенных функций. Обобщённые функции эмпирически использовались Дираком в его исследованиях по квантовой механике^[4]^[5].

Определение[ | ]

Формально обобщённая функция f{\displaystyle f} определяется как линейный непрерывный функционал (f,φ){\displaystyle \left(f,\varphi \right)} над тем или иным векторным пространством достаточно «хороших функций» φ{\displaystyle \varphi } (так называемых основных функций): f:φ↦(f,φ){\displaystyle f:\varphi \mapsto (f,\;\varphi )}^[7].

Условие линейности: (f,α1φ1+α2φ2)=α

Обобщённая функция — Википедия

Обобщённая фу́нкция или распределе́ние — математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции.
Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах.

С другой стороны, в понятии обобщённой функции находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физической величины в точке, а можно измерять лишь её средние значения в малых окрестностях данной точки.
Таким образом, техника обобщённых функций служит удобным и адекватным аппаратом для описания распределений различных физических величин. Математика начала XX века не имела нужных строгих формализмов для оперирования с новым классом зависимостей величин, открытых в физике.

[4]^[5].

Условие линейности: (f,α1φ1+α2φ2)=α1(f,φ1)+α2(f,φ2){\displaystyle \left(f,\alpha _{1}\varphi _{1}+\alpha _{2}\varphi _{2}\right)=\alpha _{1}\left(f,\varphi _{1}\right)+\alpha _{2}\left(f,\varphi _{2}\right)}.

Условие непрерывности: если φν→0{\displaystyle \varphi _{\nu }\rightarrow 0}, то (f,φν)→0{\displaystyle \left(f,\varphi _{\nu }\right)\rightarrow 0}.

Важным примером основного пространства является пространство D(Rn){\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})} — совокупность финитных C∞{\displaystyle C^{\infty }}-функций на Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, снабжённая естественной для неё топологией: последовательность функций из D(Rn){\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})} сходится, если их носители принадлежат фиксированному шару и в нём они C∞{\displaystyle C^{\infty }}-сходятся.

Сопряжённое пространство к D(Rn){\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})} есть пространство обобщённых функций D′(Rn){\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})}.

Сходимость последовательности обобщённых функций из D′(Rn){\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})} определяется как слабая сходимость функционалов из D′(Rn){\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})}, то есть fn→f{\displaystyle f_{n}\to f}, в D′(Rn){\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})} означает, что (fn,φ)→(f,φ){\displaystyle (f_{n},\;\varphi )\to (f,\;\varphi )}, для любой φ∈D(Rn){\displaystyle \varphi \in D(\mathbb {R} ^{n})}.

Для того, чтобы линейный функционал f{\displaystyle f} на D(Rn){\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})} был обобщённой функцией, то есть f∈D′(Rn){\displaystyle f\in D'(\mathbb {R} ^{n})}, необходимо и достаточно, чтобы для любого ограниченного открытого множества Ω{\displaystyle \Omega } существовали числа K{\displaystyle K} и m{\displaystyle m} такие, что

|(f,φ)|⩽K|φ|Cm{\displaystyle |(f,\;\varphi )|\leqslant K|\varphi |_{C^{m}}}

для всех φ{\displaystyle \varphi } с носителем в Ω{\displaystyle \Omega }.

Если в неравенстве число m{\displaystyle m} можно выбрать не зависящим от Ω{\displaystyle \Omega }, то обобщённая функция f{\displaystyle f} имеет конечный порядок; наименьшее такое m{\displaystyle m} называется порядком f{\displaystyle f}.

(f,φ)=∫Rnfφ.{\displaystyle (f,\;\varphi )=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f\varphi .}

Обобщённые функции, определяемые локально суммируемыми функциями f(x){\displaystyle f(x)} по этой формуле, называются регулярными; остальные обобщённые функции называются сингулярными.

Обобщённые функции, вообще говоря, не имеют значений в отдельных точках. Тем не менее можно говорить о совпадении обобщённой функции с локально суммируемой функцией на открытом множестве: обобщённая функция f{\displaystyle f} из D′(Rn){\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})} совпадает в Ω{\displaystyle \Omega } с локально суммируемой в Ω{\displaystyle \Omega } функцией f0(x){\displaystyle f_{0}(x)}, если

(f,φ)=(f0,φ){\displaystyle (f,\;\varphi )=(f_{0},\;\varphi )}

для всех φ{\displaystyle \varphi } с носителем в Ω{\displaystyle \Omega }. В частности, при f0=0{\displaystyle f_{0}=0} получается определение того, что обобщённая функция f{\displaystyle f} обращается в нуль внутри Ω{\displaystyle \Omega }.

Множество точек, ни в какой окрестности которых обобщённая функция не обращается в ноль, называется носителем обобщённой функции f{\displaystyle f} и обозначается suppf{\displaystyle \mathrm {supp} \,f}. Если suppf{\displaystyle \mathrm {supp} \,f} компактен, то обобщённая функция f{\displaystyle f} называется финитной.

Любая локально конечная мера μ{\displaystyle \mu } определяет обобщённую функцию fμ{\displaystyle f_{\mu }}

(fμ,φ)=∫φ(x)dμ(x).{\displaystyle (f_{\mu },\;\varphi )=\int \varphi (x)\,d\mu (x).}

В частности,

(δ,φ)=φ(0).{\displaystyle (\delta ,\;\varphi )=\varphi (0).}

Она описывает плотность массы 1, сосредоточенной в точке x=0{\displaystyle x=0}. δ{\displaystyle \delta }-функция имеет порядок 1.

(fS,λ,φ)=∫Sφλ.{\displaystyle (f_{S,\;\lambda },\;\varphi )=\int \limits _{S}\varphi \lambda .}

При этом fS,λ{\displaystyle f_{S,\;\lambda }} — сингулярная обобщённая функция. Эта обобщённая функция описывает пространственную плотность масс или зарядов, сосредоточенных на поверхности S{\displaystyle S} с поверхностной плотностью λ{\displaystyle \lambda } (плотность простого слоя).

Обобщённая функция ρ∈D′(R){\displaystyle \rho \in D'(\mathbb {R} )} определяемая равенством

(ρ,φ)=v.p.⁡∫Rφ(x)xdx{\displaystyle (\rho ,\;\varphi )=\operatorname {v.\!p.} \int \limits _{\mathbb {R} }{\frac {\varphi (x)}{x}}\,dx}

(для гладких финитных функций этому интегралу можно придать смысл) функция ρ{\displaystyle \rho } сингулярна и её порядок равен 2, однако на открытом множестве R∖{0}{\displaystyle \mathbb {R} \backslash \{0\}} она регулярна и совпадает с 1x{\displaystyle {\frac {1}{x}}}.

Замена переменных[править | править код]

Пусть f∈D′(Rn){\displaystyle f\in D'(\mathbb {R} ^{n})} и A:Rn→Rn{\displaystyle A:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} — гладкая замена переменных. Обобщённая функция f∘A{\displaystyle f\circ A} определяется равенством

(f∘A,φ)=(f,φ∘A−1J(A)),{\displaystyle (f\circ A,\;\varphi )=(f,\;\varphi \circ A^{-1}J(A)),}

где J(A){\displaystyle J(A)} обозначает якобиан A{\displaystyle A}. Эту формулу можно применять в частности к линейному отображению A{\displaystyle A}, она позволяет определить трансляционно инвариантные, сферически симметричные, центрально симметричные, однородные, периодические, лоренц-инвариантные и т. д. обобщённые функции.

Произведение[править | править код]

Пусть f∈D′(Rn){\displaystyle f\in D'(\mathbb {R} ^{n})} и a∈C∞(Rn){\displaystyle a\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}. Произведение af{\displaystyle af} определяется равенством

(af,φ)=(f,aφ).{\displaystyle (af,\;\varphi )=(f,\;a\varphi ).}

Например aδ=a(0)δ{\displaystyle a\delta =a(0)\delta }, xρ=1{\displaystyle x\rho =1}. Для обычных локально суммируемых функций произведение af{\displaystyle af} совпадает с обычным умножением функций f(x){\displaystyle f(x)} и a(x){\displaystyle a(x)}.

Однако эта операция произведения, вообще говоря, не допускает распространения на любые обобщённые функции так, чтобы она была ассоциативной и коммутативной.

Действительно, в противном случае получилось бы противоречие:

(xδ)ρ=0⋅ρ=0,{\displaystyle (x\delta )\rho =0\cdot \rho =0,}

(xρ)δ=1⋅δ=δ.{\displaystyle (x\rho )\delta =1\cdot \delta =\delta .}

Впрочем, возможно определить умножение любых обобщённых функций, если снять достаточно жёсткое требование, чтобы сужение этой операции на множество непрерывных функций совпадало с обычным произведением. В частности, Ю. М. Широков построил некоммутативную алгебру обобщённых функций^[8]^[9]. Нынче в Западной Европе и Америке очень популярной (см., напр., список цитированных работ в^[10]) является теория обобщённых функций Коломбо (одним из первоисточников которой является книга^[11], для первоначального ознакомления с гораздо чаще используемой на практике т. н. «специальной» алгеброй Коломбо можно просмотреть параграф 8.5 из^[12]). В рамках этой теории обобщённые функции являются классами эквивалентности некоторой факторалгебры. Преимуществом алгебры Коломбо является то, что она как ассоциативна, так и коммутативна. Умножение обобщённых функций Коломбо совпадает с обычным умножением при сужении на множество всех гладких (то есть, бесконечно непрерывно дифференцируемых) функций, несостыковка же с умножением непрерывных (но не гладких) функций разрешается при помощи введения понятия ассоциации (менее строгого, чем понятие эквивалентности). Также рассматриваемое умножение прекрасно согласуется со стандартными операциями классического анализа (напр., дифференцированием).

Дифференцирование[править | править код]

Пусть f∈D′(Rn){\displaystyle f\in D'(\mathbb {R} ^{n})}. Обобщённая (слабая) производная обобщённой функции ∂f∂xi{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}} определяется равенством

(∂f∂xi,φ)=−(f,∂φ∂xi).{\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}},\;\varphi \right)=-\left(f,\;{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}\right).}

Так как операция φ↦∂φ∂xi{\displaystyle \varphi \mapsto {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}} линейна и непрерывна из D(Rn){\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})} в D(Rn){\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})}, то функционал, определяемый правой частью равенства, есть обобщённая функция.

(f,φ)=lim

Функция (математика) — Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. функция.

График функции
f(x)=(4×3−6×2+1)x+13−x{\displaystyle {\begin{aligned}&\scriptstyle \\&\textstyle f(x)={\frac {(4x^{3}-6x^{2}+1){\sqrt {x+1}}}{3-x}}\end{aligned}}}.

Фу́нкция (отображе́ние, опера́тор, преобразова́ние) — в математике соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так, значение переменной x{\displaystyle x} однозначно определяет значение выражения x2{\displaystyle x^{2}},
также значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца.
Другой пример функции: каждому человеку можно однозначно поставить в соответствие его биологическую мать.

Аналогично, задуманный заранее алгоритм по значению входного данного выдаёт значение выходного данного.

Часто под термином «функция» понимается числовая функция, то есть функция, которая ставит одни числа в соответствие другим. Эти функции удобно представлять в виде графиков.

Термин «функция» (в некотором более узком смысле) был впервые использован Лейбницем (1692 год). В свою очередь, Иоганн Бернулли в письме к тому же Лейбницу употребил этот термин в смысле, более близком к современному^[1]^[2].

Первоначально понятие функции было неотличимо от понятия аналитического представления. Впоследствии появилось определение функции, данное Эйлером (1751 год), затем — у Лакруа (1806 год), — уже практически в современном виде. Наконец, общее определение функции (в современной форме, но для числовых функций) было дано Лобачевским (1834 год) и Дирихле (1837 год)^[3].

К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем. Сначала понятие функции было распространено на векторные функции, вскоре Фреге ввёл логические функции (1879), а после появления теории множеств Дедекинд (1887) и Пеано (1911) сформулировали современное универсальное определение^[2].

$x^{2}$ Функция, сопоставляющая каждой из четырёх фигур её цвет.

Наиболее строгим является теоретико-множественное определение функции (на основе понятия бинарного отношения). Часто вместо определения функции даётся понятие функции, то есть описание математического объекта с помощью понятий обычного языка, таких как «закон», «правило» или «соответствие».

Понятие функции[править | править код]

Говорят, что на множестве X{\displaystyle X} имеется функция (отображение, операция, оператор) f{\displaystyle f} со значениями из множества Y{\displaystyle Y}, если каждому элементу x{\displaystyle x} из множества X{\displaystyle X} по правилу f{\displaystyle f} поставлен в соответствие некоторый элемент y{\displaystyle y} из множества Y{\displaystyle Y}^[1].

Говорят также, что функция f{\displaystyle f} отображает множество X{\displaystyle X} в множество Y{\displaystyle Y}. Функцию обозначают также записью y=f(x){\displaystyle y=f(x)}.

Если используется термин оператор, то говорят, что оператор f{\displaystyle f} действует из множества X{\displaystyle X} в множество Y{\displaystyle Y} и добавляют запись y=fx{\displaystyle y=fx}.

Если хотят подчеркнуть, что правило соответствия считается известным, то говорят, что на множестве X{\displaystyle X} задана функция f{\displaystyle f}, принимающая значения из Y{\displaystyle Y}. Если функция f{\displaystyle f} должна находиться в результате решения какого-нибудь уравнения, то говорят, что f{\displaystyle f} — неизвестная или неявно заданная функция. Но в любом случае, функция, по смыслу этого понятия, считается заданной, хотя и косвенно.

Заметим, что в формулировке понятия функции требование соответствия «по правилу» является повтором, поскольку оно содержится в понятии однозначного соответствия. Формулировка понятия функции без понятия правило и необходимости его обозначать:

Говорят, что на множестве X{\displaystyle X} задана функция f{\displaystyle f}, принимающая значения из Y{\displaystyle Y}, если каждому элементу x{\displaystyle x} из множества X{\displaystyle X} поставлен в соответствие некоторый элемент y{\displaystyle y} из множества Y{\displaystyle Y}^[4].

Например, функция, заданная на X{\displaystyle X} таблицей пар элементов x{\displaystyle x} и y{\displaystyle y}, содержит и правило соответствия для каждого элемента из X{\displaystyle X}, поскольку значения функции при переходе от элемента к элементу множества X{\displaystyle X} располагаются по вполне определенному правилу.

Для числовых функций, часто задаваемых формулами, понятие функции формулируется как соответствие между элементами множеств посредством правила. Правило не обозначается, чтобы избежать совпадения обозначений правила и функции:

Если каждому элементу x{\displaystyle x} из множества X{\displaystyle X} по какому-либо правилу ставится в соответствие некоторый элемент y{\displaystyle y} из множества Y{\displaystyle Y}, то указанное соответствие называется функцией y=f(x){\displaystyle y=f(x)}, заданной на множестве X{\displaystyle X} со значениями из Y{\displaystyle Y}^[3]^[5].

Буква f{\displaystyle f} в этом обозначении — индивидуальный знак функции.

Итак, функция y=f(x){\displaystyle y=f(x)} (или кратко: функция f(x){\displaystyle f(x)} или f{\displaystyle f}) представляет собой тройку объектов: X,f,Y{\displaystyle X,f,Y}, где

Обозначенный буквой x{\displaystyle x} каждый элемент множества X{\displaystyle X} называется независимой переменной или аргументом функции. Множество X{\displaystyle X} при этом называется областью изменения переменной x{\displaystyle x}.

Элемент y{\displaystyle y}, соответствующий фиксированному элементу x{\displaystyle x} называется частным значением функции в точке x{\displaystyle x}.

Совокупность всех частных значений y{\displaystyle y}, обозначаемая символом {y}{\displaystyle \{y\}}, называется множеством значений функции.

Теоретико-множественное определение[править | править код]

Понятие множества упорядоченных пар (отношения) позволяет исключить из формулировки понятия функции не только понятие правило, но и понятие соответствие, к которому сводится понятие функции в обычных формулировках предыдущего подраздела.

Таким образом, для функции можно сформулировать определение, использующее только начальные математические понятия:

Функцией f{\displaystyle f} называется множество упорядоченных пар (x,y)∈X×Y{\displaystyle (x,y)\in X\times Y}, таких, что пары существуют для всех элементов множества X{\displaystyle X}, и, если первые элементы пар совпадают, то совпадают и вторые их элементы^[1].

При этом:

Функции f{\displaystyle f} и g{\displaystyle g} называются равными, если их графики совпадают^[6].

Поскольку равенство функций (в любой формулировке понятия функции) включает в себя не только совпадение правил соответствия между элементами множеств, но и совпадение областей задания, то функции f1(x)=x:R→R{\displaystyle f_{1}(x)=x:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } и f2(x)=x:R+→R{\displaystyle f_{2}(x)=x:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} }, где R{\displaystyle \mathbb {R} } — множество вещественных чисел, а R+{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} — множество положительных вещественных чисел, являются разными функциями.

Более общим, включающим в себя не только однозначные функции, является следующее определение функции:

Функцией f{\displaystyle f} называется любое множество упорядоченных пар (x,y)∈X×Y{\displaystyle (x,y)\in X\times Y}^[1]^{[нет в источнике]}.

При этом:

Множество X{\displaystyle X} называется областью отправления функции. Множество всех элементов x∈X{\displaystyle x\in X}, для которых существует пара (x,y)∈f{\displaystyle (x,y)\in f}, называется областью задания функции;

множество Y{\displaystyle Y} называется областью прибытия функции. Множество всех элементов y∈Y{\displaystyle y\in Y}, для которых существует пара (x,y)∈f{\displaystyle (x,y)\in f}, называется множеством значений функции.

Если на множестве X{\displaystyle X} задана функция f{\displaystyle f}, принимающая значения из множества Y{\displaystyle Y}, то

этот факт записывают в виде f:X→Y{\displaystyle f\colon X\to Y} или X⟶fY{\displaystyle X{\stackrel {f}{\longrightarrow }}Y};
множество X{\displaystyle X} — область задания функции f{\displaystyle f} — обозначается символом D(f){\displaystyle D(f)} или domf;{\displaystyle \mathrm {dom} \,f;}
множество Y{\displaystyle Y} — область значений^[3] функции f{\displaystyle f};
множество значений {y}{\displaystyle \{y\}} функции f{\displaystyle f} обозначается символом E(f){\displaystyle E(f)} или codf{\displaystyle \mathrm {cod} \,f} (ranf{\displaystyle \mathrm {ran} \,f}).
Если область значений Y{\displaystyle Y} и множество значений E(f){\displaystyle E(f)} совпадают, то говорят, что f{\displaystyle f} отображает множество X{\displaystyle X} на Y{\displaystyle Y}.
Функция, заданная на множестве X{\displaystyle X}, наиболее часто обозначается как соответствие между элементами x∈X{\displaystyle x\in X} и y∈Y{\displaystyle y\in Y}:
y=f(x){\displaystyle y=f(x)}, или кратко:f(x){\displaystyle f(x)} или f{\displaystyle f};
x↦y{\textstyle x\mapsto y} или x↦f(x){\displaystyle x\mapsto f(x)};
для сокращения числа обозначений знак функции, заданной на множестве X{\displaystyle X}, может обозначаться той же буквой, что и каждое значение функции:
y=y(x){\displaystyle y=y(x)}, z=z(x){\displaystyle z=z(x)};
функция обозначается и как функция f{\displaystyle f}, которая отображает множество X{\displaystyle X} в Y{\displaystyle Y}с обозначением соответствия между элементами x∈X{\displaystyle x\in X} и y∈Y{\displaystyle y\in Y}:
f:x↦y{\displaystyle f\colon x\mapsto y} или f:y=f(x){\displaystyle f\colon y=f(x)};
реже используется обозначение функции как соответствие между элементами x∈X{\displaystyle x\in X} и y∈Y{\displaystyle y\in Y} без скобок: y=fx{\displaystyle y=fx}, y=f∘x{\displaystyle y=f\circ x} или y=xf{\displaystyle y=xf},
а там, где необходимо подчеркнуть двойственность, используются обозначения со скобками: y=(f,x){\displaystyle y=(f,x)} или y=(x,f){\displaystyle y=(x,f)};
также существует и операторное обозначение y=xf{\displaystyle y=x^{f}}, которое можно встретить в общей алгебре.
В лямбда-исчислении Чёрча используется обозначение λx.y{\displaystyle \lambda x.y} .

Функции нескольких аргументов[править | править код]

$\lambda x.y$ График функции двух переменных f(x,y)=sin⁡(x−sin⁡(2y)){\displaystyle f(x,y)=\sin(x-\sin(2y))}

Понятие функции легко обобщается на случай функции многих аргументов.

Если множество X{\displaystyle X} представляет собой декартово произведение множеств X1,X2,…,Xn{\

Основная функция 🎓²

Формально обобщённая функция f определяется как линейный непрерывный функционал над тем или иным векторным пространством достаточно «хороших функций» (так называемых основных функций) $f:\varphi\mapsto(f, \;\varphi)$ . Важным примером основного пространства является пространство $D(\R^n)$ — совокупность финитных $C^\infty$ -функций на $\R^n$ , снабжённая естественной для неё топологией: последовательность функций из $D(\R^n)$ сходится, если их носители принадлежат фиксированному шару и в нём они $C^\infty$ -сходятся

Сопряжённое пространство к $D(\R^n)$ есть пространство обобщённых функций

Сходимость последовательности обобщённых функций из определяется как слабая сходимость функционалов из , то есть $f_n\to f$ , в означает, что $(f_n, \;\varphi)\to(f, \;\varphi)$ , для любой $\varphi\in D(\R^n)$

$f\in D$

для всех $\varphi$ с носителем в Ω

Если в неравенстве число m можно выбрать не зависящим от Ω, то обобщённая функция f имеет конечный порядок; наименьшее такое m называется порядком f

$(f, \;\varphi)=\int\limits_{\R^n}f\varphi.$

$(f, \;\varphi)=(f_0, \;\varphi)$

для всех $\varphi$ с носителм в Ω. В частности, при f₀ = 0 получается определение того, что обобщённая функция f обращается в нуль внутри Ω

Множество точек, ни в какой окрестности которых обобщённая функция не обращается в ноль, называется носителем обобщённой функции f и обозначается $\mathrm{supp}\, f$ . Если $\mathrm{supp}\, f$ компактен, то обобщённая функция f называется финитной

Любая локально конечная мера μ определяет обобщённую функцию f_μ

$(f_\mu, \;\varphi)=\int\varphi(x)\, d\mu(x).$

В частности,

Примером сингулярной обобщённой функции в $\R^n$ служит δ-функция Дирака

$(\delta, \;\varphi)=\varphi(0).$

Она описывает плотность массы 1, сосредоточенной в точке x = 0. δ-функция имеет порядок 1.

Поверхностная δ-функция. Пусть S — кусочно гладкая поверхность и λ — непрерывная функция на S. Обобщённая функция $f_{S, \;\lambda}$ определяется равенством

$(f_{S, \;\lambda}, \;\varphi)=\int\limits_S\varphi\lambda.$

При этом $f_{S, \;\lambda}$ — сингулярная обобщённая функция. Эта обобщённая функция описывает пространственную плотность масс пли зарядов, сосредоточенных на поверхности S с поверхностной плотностью λ (плотность простого слоя).

Обобщённая функция $\rho\in D$ определяемая равенством

$(\rho, \;\varphi)=\int\limits_\R\frac{\varphi(x)}{x}\, dx$

Линейные операции над обобщёнными функциями вводятся как расширение соответствующих операций над основными функциями

Замена переменных

Пусть $f\in D$ и $A:\R^n\to\R^n$ — гладкая замена переменных. Обобщённая функция $f\circ A$ определяется равенством

$(f\circ A, \;\varphi)=(f, \;\varphi\circ A^{-1}J(A)),$

Произведение

Чаще всего определяется произведение обобщённых функций на обычные, а произведение обобщённых функций остается неопределенным

Пусть $f\in D$ и $a\in C^\infty(\R^n)$ . Произведение af = fa определяется равенством

$(af, \;\varphi)=(f, \;a\varphi).$

Например aδ = a(0)δ, xρ = 1. Для обычных локально суммируемых функций произведение af совпадает с обычным умножением функций f(x) и a(x

Однако эта операция произведения вообще говоря не допускает распространения на любые обобщённые функции так, чтобы она была ассоциативной и коммутативной

Действительно, в противном случае получилось бы противоречие

$(x\delta)\rho=0\cdot\rho=0,$

$(x\rho)\delta=1\cdot\delta=\delta.$

В частности, Ю. М. Широков построил некоммутативную алгебру обобщённых функций^[2]^[3]

Дифференцирование

Пусть $f\in D$ . Обобщённая (слабая) производная обобщённой функции $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ определяется равенством

$\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}, \;\varphi\right)=-\left(f, \;\frac{\partial\varphi}{\partial x_i}\right).$

Пространство — полное: если последовательность обобщённых функций f_i из такова, что для любой функции $\varphi\in D(\R^n)$ числовая последовательность $(f_i, \;\varphi)$ сходится, то функционал

$(f, \;\varphi)= \lim_{i\to\infty}(f_i, \;\varphi)$

принадлежит

Дельта-функция получается при вычислении интеграла Фурье от константы

$\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{ipx}\, dp=2\pi\delta(x).$

Wikimedia Foundation.
2010.

Пространство основных функций — это… Что такое Пространство основных функций?

Пространство обобщенных функций — Обобщённая функция или распределение математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции. Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах. Понятие обобщённой функции даёт возможность выразить в… … Википедия

Пространство Соболева — (в математике) функциональное пространство, состоящее из функций из пространства Лебега ( ), имеющих обобщенные производные заданного порядка из . При пространства Соболева являются банаховыми пространствами, а при p=2 пространства Соболева … Википедия

Пространство Шварца — Пространство Шварца пространство быстро убывающих функций. Формально говоря, состоит из таких бесконечно дифференцируемых вещественных функций , что при . Это значит что сама функция, и все её производные на бесконечности стремятся к нулю… … Википедия

Пространство обобщённых функций — Обобщённая функция или распределение математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции. Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах. Понятие обобщённой функции даёт возможность выразить в… … Википедия

Пространство состояний (теория управления) — Пространство состояний в теории управления один из основных методов описания поведения динамической системы. Движение системы в пространстве состояний отражает изменение ее состояний. Содержание 1 Определение 1.1 Линейные непрерывные… … Википедия

Пространство состояний — Пространство состояний в теории управления один из основных методов описания поведения динамической системы. Движение системы в пространстве состояний отражает изменение его состояний. Содержание 1 Определение 1.1 Линейные непрерывные системы … Википедия

ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ — раздел математики, занимающийся изучением свойств различных функций. Теория функций распадается на две области: теорию функций действительного переменного и теорию функций комплексного переменного, различие между которыми настолько велико, что… … Энциклопедия Кольера

ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ ПРОСТРАНСТВО — пространство, сопряженное к пространству основных (достаточно хороших) функций. Важную роль здесь играют Фреше пространства (типа FS )и сильно сопряженные к ним (типа DFS). Пространство типа FS есть проективный предел компактной… … Математическая энциклопедия

БАНАХОВО ПРОСТРАНСТВО — В пространство, полное нормированное векторное пространство. Исходными для создания теории Б. п. послужили введенные (в 1904 18) Д. Гильбертом (D. Hilbert), М. Фреше (М. Frechet) и Ф. Рисом (F. Riesz) функциональные пространства. Именно в этих… … Математическая энциклопедия

КОНСТРУКТИВНОЕ МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО — концепция метрич. пространства, используемая в конструктивной математике. Близкий смысл имеет также понятие рекурсивного метрического пространства. Список где некоторое множество конструктивных объектов (обычно слов в том или ином алфавите), р… … Математическая энциклопедия

Основная функция: Основная функция — это… Что такое Основная функция? – Пространство основных функций — Википедия

Основная функция — это… Что такое Основная функция?

Определение

Примеры

Операции

Замена переменных

Произведение

Дифференцирование

Свойства

Примеры

Примечания

См. также

Пространство основных функций — Википедия

Основная функция Википедия

Определение[ | ]

Обобщённая функция — Википедия

Замена переменных[править | править код]

Произведение[править | править код]

Дифференцирование[править | править код]

Функция (математика) — Википедия

Понятие функции[править | править код]

Теоретико-множественное определение[править | править код]

Функции нескольких аргументов[править | править код]

Основная функция 🎓²

Замена переменных

Произведение

Дифференцирование

Пространство основных функций — это… Что такое Пространство основных функций?

Добавить комментарий Отменить ответ

Рубрики