Сфера 2б: Интернет-магазин подшипников и РТИ «Сфера-2В»

Рыба № 1 выпуск 2 (25) 2020

40 рыба №2 (25) 2020 оборудование GEA в России г. Москва, ул. Отрадная, 2Б, стр. 9, этаж 10, каб. 1 Tел. +7 (495) 787-20-20 www.gea.com/russia Компания: Владимир Смычников, директор обособленного подразделения ООО «ГЕА Рефрижерейшн РУС» Гость: – П очему в качестве месторасполо- жения площадки был выбран именно Климовск? – Это одно из самых удобных мест: от- личная транспортная доступность – всего 25 км от Москвы. Мы граничим с Подоль- ском – промышленным центром Подмо- сковья. Правильность нашего решения пять лет назад подтверждает и тот факт, что вся округа сейчас застраивается логи- стическими складами. Рядом две ж/д стан- ции, аэропорты Внуково и Домодедово, что удобно и для наших заказчиков, кото- рые часто приезжают на площадку. – Как быстро удалось запустить произ- водство? – Запуск площадки мы произвели в ко- роткие сроки и, что немаловажно, с малы- ми инвестициями – менее 500 тыс. евро, хотя проект был начат с нуля. В начале мая въехали на арендованные площади, а в се- редине месяца приступили к сборке холо- дильного оборудования для химического предприятия. Параллельно вели монтаж систем электроснабжения, воздушных трубопроводов на самой площадке. – Какие особенности у сборки обору- дования для производителей продуктов питания? – В феврале 2016 года мы получили за- каз на изготовление пяти автоматических пастеризационных установок для произ- водства напитков и переработки молока. И это был наш первый опыт сборки изде- лий из нержавеющей стали. Был организо- ван отдельный участок – он должен быть строго отделен от цехов с черной сталью, чтобы избежать электрохимической кор- В целом, если говорить о номенклатуре нашей площадки, 75% составляет оборудование для пищевой промышленности и 25% – для нефтегазовой отрасли. Владимир Смычников: «Мы готовы к новым вызовам» В сентябре 2020 года многоцелевая производственная площадка машиностроительного концерна GEA в Климовске отметила 5-летие с момента открытия. Владимир Смычников, директор обосо- бленного подразделения ООО «ГЕА Рефрижерейшн РУС», рассказал о том, как с одинаковым успехом производить технологически сложное оборудование для пищевой индустрии и нефтегазовой отрас- ли и почему важно держать связь с коллегами по всему миру.

Made with FlippingBook

RkJQdWJsaXNoZXIy NzIxNjc1

Администрация города Юрги

. — Здравоохранение — Социальная сфера

Сравнение бор-фрез по металлу

Вакцинация против новой коронавирусной инфекции — Охрана здоровья — Социальная сфера

Вакцинация против новой коронавирусной инфекции на территории города Владивостока

В целях максимального охвата населения, в том числе целевых групп риска, подлежащих приоритетной вакцинации, на территории города Владивостокского проводится массовая прививочная кампания по вакцинации против новой коронавирусной инфекции. На территории г. Владивостока функционирует 29 прививочных пунктов, в том числе 11 – мобильных пунктов вакцинации.

*Для сотрудников и студентов ДВФУ

Каждый желающий пройти вакцинацию вакцинами «Гам-КОВИД-Вак» (Спутник-V) и «ЭпиВакКорона» может обратиться в поликлинику для включения в лист ожидания, либо осуществить запись через портал Госуслуги. Вакцинация от COVID-19 состоит из двух этапов введения вакцины – второй из них проводится через три недели после первого.

Вакцинация целевых групп риска (медработники, педагоги, пенсионеры и т.д.)  приоритетна, т.е.  проводится в первую очередь.

Если у вас нет противопоказаний, вакцинируйтесь. 

Сфера применения систем видеонаблюдения

Владельцы частного бизнеса, независимо от его размера, рано или поздно сталкиваются с вопросом о его охране. Супермаркет, магазин, склад или офис – любой из этих объектов нуждается в охране. Разница лишь в применяемых мерах и уровне обеспеченности безопасности. Как бы то ни было,  оптимальным решением для каждого из этих вариантов будет установление системы видеонаблюдения. Именно эта мера безопасности является самым простым и распространенным способом предотвращения правонарушений, связанных, как правило, с мелкими хищениями.

Сегодняшние технологии имеют несколько решений, и монтаж систем видеонаблюдения производится в зависимости от типа охраняемого объекта.

Государственные органы и муниципальные учреждения нуждаются в видеонаблюдении в целях обеспечения общественного правопорядка, предотвращения возможных террористических угроз, повышения скорости реагирования на отдельные правонарушения, информация о которых может быть получена при помощи установленных систем.

Необходимость обеспечения безопасности банков и офисных зданий очевидна. Вовремя замеченные подозрительные действия посетителей банковских учреждений помогут предотвратить многие неприятные моменты. Поведение офисных сотрудников также будет более корректным, если они будут знать о том, что находятся под постоянным наблюдением.

Знать о том, что на вашем производственном предприятии или складе все в порядке, поможет видеонаблюдение, с возможностью удаленного просмотра. Вы сможете контролировать рабочий процесс, находясь в любой точке мира, имея под рукой интернет. Также есть возможность установить так называемый «спящий» режим, при котором камера будет активироваться при наличии какого-нибудь движения, возникновения тревожной ситуации.

Важность видеонаблюдения для супермаркетов и торговых центров тоже тяжело оспорить. Здесь можно применить камеры, которые фиксируют даже пробиваемый чек. Это поможет контролировать не только покупателей, но и продавцов. Более того, возможность последующей идентификации личности, которая возможна на камерах с высоким разрешением, повышает значимость видеонаблюдения.

Во время крупных и значимых спортивных событий установленная на стадионе система видеонаблюдения несколько повысит безопасность болельщиков и поможет предотвратить беспорядки.

Камера, установленная в больших частных домах  и в подъездах многоэтажных домов, поможет при охране как самого дома и его имущества, так и его обитателей.

Выбор такого современного способа обеспечения безопасности, как видеонаблюдение, будет полезен на любом объекте.

Метки: Видеонаблюдение, Камеры видеонаблюдения, Установка видеонаблюдения, Установка камер

Поэтические чтения в театре «Сфера» (+Видео)

1 июня на youtube канале театра «Сфера» появилась запись Поэтических чтений, посвященных Давиду Самойлову. Мы уже писали, что парни к Чтениям готовились, учили стихи, искали нужные интонации… И вот вечером, после всех хлопот первого дня каникул мы собрались в беседке и смотрели.

Это уже третьи поэтические чтения в театре, в которых мы принимаем участие, и многих чтецов ребята узнавали и радовались. Ждали, конечно, когда на экране появятся «наши». Интрига усугублялась тем, что в самом начале Чтений художественный руководитель театра «Сфера» Александр Викторович Коршунов сказал, что пришло множество заявок, все в фильм просто не поместились бы и для видео отобрали самые интересные, живые, искренние.  Первым «выдохнул» Захар — появился стремительно в кадре и очень здорово, прочувствовав каждое слово прочел «Перебирая наши даты», потом появился Артём, немножко робко и с огромной болью прочел стихотворение «Девочка». Долго мы с Тёмой работали над стихом и все получилось после просмотра короткого фильма о концлагерях и гетто. Вот, оказалось, за несколькими четверостишьями какая горькая история большого народа…

Дальше Володя, Федя и Ваня читали «Слово о Богородице и русских солдатах».  Совершенно потрясающее стихотворение, строки из которого проникают в самую душу, и опять это про целое поколение, которое о себе не думало, Родину спасая:

Не надо, Богородица, не надо мне рая,

Когда за Родину на Руси умираю…

Тут мы замахнулись на сложное и немножко не дотянули, оказалось, когда взялся за дело, нужно идти до конца. Всей командой. Оказалось, от действия или бездействия, от «мне лень» и «я устал, хватит» зависит итог работы всей команды. Дело было сделано, ценой нечеловеческих усилий чудесное стихотворение было записано. Радует, что после просмотра парни сами поняли, где чуть не дотянули, немножко «смяли». Это очень важно. Это про педагогику.  Это прог тот опыт, на котором, как грибы после дождя, ребята растут. Это про деятельность. Бурную. Кипучую. И это про наши следующие проекты. 

2-сфера — Topospaces

Эта статья о конкретном топологическом пространстве (однозначно определенном с точностью до гомеоморфизма) | Посмотреть полный список конкретных топологических пространств

Определение

Обозначенная 2-сфера определяется как сфера размерности 2. Ниже приведены некоторые явные определения.

Как подмножество евклидова пространства

2-сфера с центром и радиусом определяется как следующее подмножество:

В частности, единичная 2-сфера с центром в начале координат определяется как следующее подмножество:

Отметим, что все 2-сферы эквивалентны с точностью до сдвигов и растяжений, и, в частности, они гомеоморфны как топологические пространства.

Эквивалентные места

Свойства топологического пространства

Алгебраическая топология

Группы гомологий

Дополнительная информация: гомология сфер

Группы гомологий с коэффициентами в следующие:, и все другие группы гомологий равны нулю.Приведенные группы гомологий с коэффициентами в следующие:, и все другие редуцированные группы гомологий равны нулю.

В более общем смысле, для гомологий с коэффициентами в любом модуле над любым коммутативным унитальным кольцом и все другие группы гомологий равны нулю. Для приведенных гомологий, и все остальные редуцированные группы гомологий равны нулю.

Группы когомологий

Дополнительная информация: вычисление когомологий сфер.

Группы когомологий с коэффициентами в следующие:, и все остальные группы когомологий равны нулю.Кольцо когомологий есть, где — аддитивный генератор.

В более общем смысле, для коэффициентов в любом коммутативном кольце с единицей, и другие группы когомологий равны нулю. Кольцо когомологий есть, где — генератор as a -модуля.

Инварианты, основанные на гомологиях

Гомотопические группы

Дополнительная информация: гомотопия сфер.

Алгебраическая и коалгебраическая структура

Алгебраическая структура

2-сфера не является H-пространством, т.е.е., ей нельзя дать мультипликативную структуру, удовлетворяющую свойствам тождества и ассоциативности с точностью до гомотопии. В частности, он не возникает из топологического моноида или топологической группы.

Коалгебраическая структура

Дополнительная информация: умножение на сферы

2-сфера имеет естественный выбор коумножения, т.е. если мы выберем в качестве базовой точки, будет карта:

где обозначает сумму клина, а карта является непрерывной картой, т.е.е., непрерывная карта, сохраняющая базовую точку. Это отображение является кокоммутативным и коассоциативным с точностью до гомотопии, и оно используется, чтобы дать структуру абелевой группы множеству гомотопических классов от базисной 2-сферы до любого базируемого топологического пространства. Эта группа называется второй гомотопической группой.

Инварианты типа коллектора

Площадь поверхности сферы — объяснение и примеры

Сфера — одна из важных трехмерных фигур в геометрии. Напомним, сфера — это трехмерный объект, каждая точка которого находится на одинаковом расстоянии (одинаковом расстоянии) от фиксированной точки, известной как центр сферы. Диаметр сферы делит ее на две равные половины, называемые полусферами.

Площадь поверхности сферы — это мера области, покрытой поверхностью сферы.

Из этой статьи вы узнаете, , как найти площадь поверхности сферы, используя формулу площади поверхности сферы .

Как найти площадь поверхности сферы?

Как и у круга, расстояние от центра сферы до поверхности называется радиусом. Площадь поверхности сферы в четыре раза больше площади круга того же радиуса.

Формула площади поверхности сферы

Формула площади поверхности сферы определяется как:

Площадь поверхности сферы = 4πr ² квадратных единиц …………….(Формула площади поверхности сферы)

Для полусферы (половины сферы) площадь поверхности определяется выражением;

Площадь поверхности полусферы = ½ × площадь поверхности сферы + площадь основания (круга)

= ½ × 4π r ² + π r ²

Поверхность полусферы = 3πr ² …………………. (Формула площади поверхности полусферы)

Где r = радиус данной сферы.

Давайте решим несколько примеров задач о площади поверхности сферы.

Пример 1

Вычислите площадь поверхности шара радиусом 14 см.

Раствор

Дано:

Радиус, r = 14 см

По формуле

Площадь сферы = 4πr ²

При замене получаем,

SA = 4 x 3,14 x 14 x 14

= 2461,76 см ² .

Пример 2

Диаметр бейсбольного мяча 18 см.Найдите площадь поверхности мяча.

Раствор

Дано,

Диаметр = 18 см ⇒ радиус = 18/2 = 9 см

Бейсбольный мяч имеет сферическую форму, следовательно,

Площадь поверхности = 4πr ²

= 4 х 3,14 х 9 х 9

SA = 1017,36 см ²

Пример 3

Площадь сферического объекта 379,94 м ² . Каков радиус объекта?

Раствор

Дано,

SA = 379.94 кв.м. ²

А, площадь поверхности сферы = 4πr ²

⇒ 379,94 = 4 x 3,14 x r ²

⇒ 379,94 = 12,56r ²

Разделите обе стороны на 12,56 и найдите квадрат результата

.

⇒ 379,94 / 12,56 = r ²

⇒ 30,25 = r ²

⇒ r = √30,25

= 5,5

Следовательно, радиус сферического тела равен 5,5 м.

Пример 4

Стоимость кожи 10 долларов за квадратный метр.Найти стоимость изготовления 1000 футбольных мячей радиусом 0,12 м.

Раствор

Сначала найдите площадь поверхности шара

SA = 4πr ²

= 4 х 3,14 х 0,12 х 0,12

= 0,181 м ²

Стоимость изготовления шара = 0,181 м ² x 10 долларов за квадратный метр

= 1,81 долл. США

Следовательно, общая стоимость изготовления 1000 шаров = 1,81 $ x 1000

= 1810 долларов США

Пример 5

Считается, что радиус Земли составляет 6 371 км.Какова площадь поверхности Земли?

Раствор

Земля — ​​сфера.

SA = 4πr ²

= 4 х 3,14 х 6,371 х 6,371

= 5,098 x 10 ⁸ км ²

Пример 6

Рассчитайте площадь поверхности твердой полусферы радиусом 10 см.

Раствор

Дано:

Радиус, r = 10 см

Для полусферы площадь поверхности определяется по формуле:

SA = 3πr ²

Запасной.

SA = 3 x 3,14 x 10 x 10

= 942 см ²

Итак, площадь поверхности шара составляет 942 см ² .

Пример 7

Площадь поверхности твердого полусферического объекта составляет 150,86 фута ² . Какой диаметр полушария?

Раствор

Дано:

SA = 150,86 футов ² .

Площадь сферы = 3πr ²

⇒ 150.86 = 3 x 3,14 x r ²

⇒ 150,86 = 9,42 r ²

Разделите обе стороны на 9,42, чтобы получить

⇒ 16,014 = r ²

г = √16.014

= 4

Следовательно, радиус составляет 4 фута, но диаметр в два раза больше радиуса.

Итак, диаметр полусферы 8 футов.

Пример 8

Вычислить площадь поверхности сферы объемом 1436,03 мм ³ .

Раствор

С, мы уже знаем, что:

Объем шара = 4/3 πr ³

1,436,03 = 4/3 x 3,14 x r ³

1,436,03 = 4,19 r ³

Разделим обе стороны на 4,19

r ³ = 343

г = ³ √343

г = 7

Итак, радиус сферы 7 мм.

Теперь вычислите площадь поверхности сферы.

Площадь сферы = 4πr ²

= 4 х 3.14 х 7 х 7

= 615,44 мм ² .

Пример 9

Вычислить площадь поверхности земного шара радиусом 3,2 м

Раствор

Площадь поверхности сферы
= 4π r ²
= 4π (3,2) ²
= 4 × 3,14 × 3,2 × 3,2
= 128,6 м ²

Следовательно, площадь земного шара составляет 128,6 м ² .

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Змеиная сфера | Метафизическое значение | Tushita Heaven

Змеиная сфера

Качество: A

Размер: 2.25 «

Змеиный камень — очень духовный камень. Он обеспечивает доступ к информации, которая позволяет вам« видеть »цель вашей жизни. Он очищает и открывает чакры, пробуждает и активирует энергию кундалини. Считается одним из лучших камней для помощи в активации Кундалини. Это помогает вам понять баланс между вашей эмоциональной и духовной сторонами, раскрывая информацию, которая была вытеснена, создавая способность переоценивать или очищать ее. Змеиный позволяет вам почувствовать, что вы имеете влияние на направление своей жизни и показывает, как оставаться в духовном равновесии, следуя лучшему пути.

Змеиный обладает способностью успокаивать сердечную чакру, принося душевное спокойствие пользователю. Он открывает коронную чакру и зажигает древние воспоминания о прошлых жизнях, которые относятся к духовному росту и мудрости. Он защищает от негатива, и, согласно народным преданиям, в древние времена его использовали для отражения злых или магических заклинаний. Это камень, который имеет глубокую связь с природой и может использоваться для доступа к энергиям, которые помогут в исцелении Земли. Змеиный может помочь вам соединиться с элементальными существами; царство ангелов или царство дэвов.

Змеиный пробуждает энергию Кундалини и может сгладить резкое движение свертывания, так что кажется терпимым. (Подъем Кундалини часто доставляет дискомфорт, поскольку по позвоночнику поднимается ощущение горячего пламени.) Он очищает блоки в чакрах и открывает внутренние, забытые камеры знания, которые бездействовали. Это увеличивает духовный рост и усиливает экстрасенсорные способности.

Змеиный усиливает ясновидение и полезен в медитации, так как способствует внутреннему знанию.Этот камень сердечной чакры вдохновляет на спокойную и умиротворяющую любовь.

Из Хрустальная Библия , «Змеевик — это земной камень, который помогает медитации и духовным исследованиям … Этот камень открывает новые пути для подъема энергии кундалини. Он помогает в восстановлении мудрости и возвращает память о прошлых жизнях. . Психологически Serpentine помогает вам больше контролировать свою жизнь ».

Твердые тела — объемы и поверхности

Куб

Объем

V = a ³ (1)

где

V = объем (м ^{3 3 , футы )}

a = сторона (м, футы)

Площадь поверхности

A ₀ = 6 a ² (1b)

где

A ₀ = площадь поверхности (м ² , фут ² )

Диагональ

d = a 3 ^1/2 (1c)

где

d = внутренняя диагональ (м, фут)

Диагональ кубической грани

d _s = a 2 ^1/2 (1d)

Кубоид — квадратная призма

90 009

Объем

V = abc (2)

, где

V = объем твердого тела (м ³ , футы ³ )

a = длина прямоугольной призмы (м , фут)

b = ширина прямоугольной призмы (м, футы)

c = высота прямоугольной призмы (м, фут)

Диагональ

d = ( _² + b ^₂ + c ^₂ ) ^1/2 (2b)

Площадь поверхности

A ₀ = 2 (ab + ac + bc) (2c)

где

A ₀ = площадь поверхности твердого тела (м ² , футы ² )

Параллелепипед 9001 1

Объем

V = A ₁ h (3a)

где

A ₁ = боковая поверхность (м ² , фут ² )

269 Компоненты Sketchup из Engineering ToolBox

• Геометрические фигуры — цилиндры, прямоугольники, конусы, плоскости, сферы, линии, кривые и многое другое..

— бесплатный плагин Engineering ToolBox для использования с замечательным приложением для рисования / моделирования Sketchup 3D.

Цилиндр

Объем

V = π r ² h = ( π / 4) d ² h (4a)

89 где

89 где 9000 d = диаметр цилиндра (м, фут)

r = радиус цилиндра (м, фут)

h = высота цилиндра (м, фут)

Поверхность

A = 2 π rh + 2 π r ² (4b)

Полый цилиндр

Объем

V = π / 4 h (D ² — d ² ) (5)

Пирамида

Объем

V = 1/3 ч A ₁ (6)

где

A _{1 90 659 = площадь основания (м ² , фут ² )}

h = перпендикулярная высота пирамиды (м, фут)

Поверхность

A = ∑ сумма площадей треугольников, образующих стороны + A _b (6b)

где

поверхности треугольных граней будут иметь разные формулы для оснований разной формы

Frustum of Pyramid

Volume

V = h / 3 (A ₁ + A ₂ + (A ₁ A ₂ ) ^1/2 ) (7)

Конус

Объем

V = 1/3 π r ² h (8a)

где

r = радиус основания конуса (м, футы)

h = высота конуса (м, футов)

Поверхность

A = π rl + π r ² (8b)

где

l = (r ² + h ² ) = длина стороны конуса (м, футы)

Сторона

м = (h ² + r ² ) ^1/2 (8c)

A ₂ / A ₁ = x ² / h ² (8d)

Уголок конуса

Объем

V = π / 12 h (D ² + D d + d ² ) (9a)

m = (((D — d) / 2) ² + h ² ) ^1/2 (9c)

Сфера

Объем

V = 4/3 π r ³

= 1/6 π d ³ (10a)

где

r = радиус сферы (м, фут)

Поверхность

A = 4 π r ²

= π d ² (10b)

м :

Поверхность:

Сферы с дробным диаметром — площадь поверхности и объем

Зона сферы

V = π / 6 h (3a ² + 3b ² + h) ( 11a)

A _m = 2 π rh (11b)

A ₀ = π (2 rh + a ² + b ² ) (11c)

Сегмент сферы

V = π / 6 h (3/4 с ² + h ² )

= = π h ² (r — h / 3) (12a)

A _m = 2 π rh

= π / 4 (s ² + 4 h 9024 2 ) (12b)

Сектор сферы

V = 2/3 π r ² h (13a)

A ₀ = r (4 h + s) (13b)

Сфера с цилиндрическим растачиванием

V = π / 6 h ³ (14a)

A 90 658 0 = 4 π ((R + r) ³ (R — r)) ^1/2

= 2 π h (R + r) (14b)

h = 2 (R ² — r ² ) ^1/2 (14c)

Сфера с коническим растачиванием

V = 2/3 π R ² h (15a)

A ₀ = 2 π R (h + (R ² — h ² /4) ^1/2 ) (15b)

h = 2 (R ² — r ² ) ^1/2 (15c)

Тор

V = π ² /4 D d ² (16a)

A ₀ = π ² D d (16b)

Нарезанный цилиндр

V = π / 4 d ² h

= π r ²

1 ( h ₂ ) / 2) (17a)

A _m = π dh

= 2 π r ((h ₁ + h 9065) / 2) (17b)

где

A _м = площадь боковых стенок

A ₀ = π65 r (h ₁ + h ₁ + h + r + (r ² + (h ₁ — h ₂ ) ² /4) ^1/2 ) (17c)

где

A ₀ знак равно площадь поверхности

Ungula

V = 2/3 r ² h (18a)

A _m = 2 rh (18b)
9 A = A _м + π / 2 r ² + π / 2 r (r ² + h ² ) ^1/2 (18c)

Ствол

В ≈ π / 12 ч (2 D ² + d ² ) (19a)

сфера в nLab

СОДЕРЖАНИЕ

Контекст

Сферы

Топология

топология (точечная топология, бесточечная топология)

см. Также дифференциальная топология , алгебраическая топология , функциональный анализ и теория топологической гомотопии

Введение

Основные концепции

• открытое подмножество, закрытое подмножество, окрестность

• топологическое пространство, локаль

• база для топологии, база окрестности

• более тонкая / грубая топология

• закрытие, внутреннее, граница

• разлука, трезвость

• непрерывная функция, гомеоморфизм

• равномерно непрерывная функция

• вложение

• открытая карта, закрытая карта

• последовательность, сеть, подсеть, фильтр

• конвергенция

• категория Начало

Универсальные конструкции

Дополнительный персонал, строение, реквизиты

• красивое топологическое пространство

• метрическое пространство, метрическая топология, метризуемое пространство

• пространство Колмогорова, пространство Хаусдорфа, регулярное пространство, нормальное пространство

• трезвое пространство

• компактное пространство, правильная карта

  последовательно компактный, счетно компактный, локально компактный, сигма-компактный, паракомпактный, счетно паракомпактный, сильно компактный

• компактно сформированное пространство

• пробел с подсчетом секунд, пробел с первым счетом

• арендуемая площадь, локально сокращаемая площадь

• подключенное пространство, локально связанное пространство

• односвязное пространство, локально-односвязное пространство

• клеточный комплекс, CW-комплекс

• заостренное пространство

• топологическое векторное пространство, банахово пространство, гильбертово пространство

• топологическая группа

• топологическое векторное расслоение, топологическая K-теория

• топологический коллектор

Примеры

• пустое пространство, точечное пространство

• дискретное пространство, кодискретное пространство

• Пространство Серпинского

• Топология порядка

  , топология специализации, топология Скотта

• Евклидово пространство

• цилиндр, конус

• сфера, шар

• круг, тор, кольцо, лента Мебиуса

• многогранник, многогранник

• проективное пространство (реальное, комплексное)

• классифицирующее помещение

• пространство конфигурации

• дорожка, петля

• отображающих пространств: компактно-открытая топология, топология равномерной сходимости

• Топология Зариского

• пространство Кантора, пространство Мандельброта

• Кривая Пеано

• линия с двумя отправлениями, длинная линия, линия Sorgenfrey

• K-топология, пространство Даукера

• Варшавский круг, гавайский космос для серег

Основные ведомости

Теоремы

Аналитические теоремы

теория топологической гомотопии

Многообразия и кобордизмы

Определение

Конечномерные сферы

Определение

nn-мерная единица сфера , или просто nn-сфера , является топологическим пространством, заданным подмножеством (n + 1) (n + 1) -мерного декартова пространства ℝn + 1 \ mathbb {R} ^ {n + 1}, состоящий из всех точек xx, расстояние от которых до начала координат равно 11

Sn = {x: ℝn + 1 | ‖x‖ = 1}.п.

Бесконечные сферы

Можно также говорить о бесконечномерной сфере в произвольном (возможно, бесконечномерном) нормированном векторном пространстве VV:

S (V) = {x: V, что x‖ = 1}. S (V) = \ {x: V \; \ text {такой, что} \; {\ | x \ |} = 1 \}.

Если локально выпуклое топологическое векторное пространство допускает непрерывную линейную инъекцию в нормированное векторное пространство, это можно использовать для определения его сферы. В противном случае можно определить сферу как частное пространства ненулевых векторов при скалярном действии (0, ∞) (0, \ infty).\ infty.

Сами по себе они не дают ничего нового для теории гомотопии, поскольку они, по крайней мере, слабо стягиваемы и обычно стягиваемы. Однако они являются очень полезным источником больших сжимаемых пространств и поэтому часто используются в качестве отправной точки для создания конкретных моделей классифицирующих пространств.

Если векторное пространство является пространством сдвига, то сжимаемость доказать несложно.

Теорема

Пусть VV — сдвиговое пространство некоторого порядка. Пусть SVS V будет его сферой (либо через норму, либо как частное ненулевых векторов).Тогда SVS V стягиваем.

Проба

Пусть T: V → VT \ двоеточие V \ to V — отображение сдвига. Идея состоит в том, чтобы навести сферу на изображение TT, а затем вниз до точки.

Проще всего начать с ненулевых векторов: V ∖ {0} V \ setminus \ {0 \}. Поскольку TT инъективен, он ограничивается отображением из этого пространства в себя, которое коммутирует со скалярным действием (0, ∞) (0, \ infty). Определите гомотопию H: [0,1] × (V ∖ {0}) → V ∖ {0} H \ двоеточие [0,1] \ times (V \ setminus
\ {0 \}) \ к V \ setminus \ {0 \} через Ht (v) = (1 − t) v + tTvH_t (v) = (1 — t) v + t T v.Ясно, что, если предположить, что это правильно определено, это гомотопия от тождества к TT. Чтобы увидеть, что это правильно, нам нужно показать, что Ht (v) H_t (v) никогда не равно нулю. Единственное место, где он может быть равен нулю, будет на собственном векторе TT, но поскольку TT — это карта сдвига, то у него его нет.

Поскольку TT — это карта сдвига, она не сюръективна, и поэтому мы можем выбрать некоторый v0v_0 не в его изображении. Затем мы определяем гомотопию G: [0,1] × (V ∖ {0}) → V ∖ {0} G \ двоеточие [0,1] \ times (V \ setminus \ {0 \}) \ to V \ setminus \ {0 \} по Gt (v) = (1 − t) Tv + tv0G_t (v) = (1 — t) T v + t v_0.Поскольку v0v_0 не входит в образ TT, это хорошо определено на V ∖ {0} V \ setminus \ {0 \}. Объединение этих двух гомотопий приводит к желаемому сжатию V ∖ {0} V \ setminus \ {0 \}.

Если VV допускает подходящую функцию, определяющую сферическое подмножество (например, норму), то мы можем изменить приведенное выше на сокращение сферического подмножества, просто разделив на эту функцию. В противном случае, поскольку гомотопии выше всех коммутируют со скалярным действием (0, ∞) (0, \ infty), они спускаются до определения сферы как частного от V ∖ {0} V \ setminus \ {0 \ }.п \ simeq О (п + 1) / О (п).

Аналогично, аналогичный аргумент для единичных сфер внутри (реальных векторных пространств, лежащих в основе) комплексных векторных пространств, мы имеем

И, тем не менее, аналогичный аргумент для единичных сфер внутри (лежащих в основе реальных векторных пространств) кватернионных векторных пространств, мы имеем

Обычно:

Предложение

Связные группы Ли с эффективными транзитивными действиями на n-сферах в точности (с точностью до изоморфизма) следующие:

с смежными пространствами

SO (n) / SO (n − 1) ≃Sn − 1U (n) / U (n − 1) ≃S2n − 1SU (n) / SU (n − 1) ≃S2n − 1Sp (n) / Sp (n −1) ≃S4n − 1Sp (n) ⋅SO (2) / Sp (n − 1) ⋅SO (2) ≃S4n − 1Sp (n) ⋅Sp (1) / Sp (n − 1) ⋅Sp (1 ) ≃S4n − 1G2 / SU (3) ≃S6Spin (7) / G2≃S7Spin (9) / Spin (7) ≃S15
\ begin {выровнено}
SO (n) / SO (n-1)
& \ simeq S ^ {n-1}
\\
U (n) / U (n-1) & \ simeq S ^ {2n-1}
\\
SU (n) / SU (n-1) & \ simeq S ^ {2n-1}
\\
Sp (n) / Sp (n-1) & \ simeq S ^ {4n-1}
\\
Sp (n) \ cdot SO (2) / Sp (n-1) \ cdot SO (2) & \ simeq S ^ {4n-1}
\\
Sp (n) \ cdot Sp (1) / Sp (n-1) \ cdot Sp (1) & \ simeq S ^ {4n-1}
\\
G_2 / SU (3) & \ simeq S ^ 6
\\
Spin (7) / G_2 & \ simeq S ^ 7
\\
Вращение (9) / Вращение (7) & \ simeq S ^ {15}
\ end {выровнен}

Это восходит к Монтогомери-Самельсон 43, см.
Gray-Green 70, p.1-2

(например, Borel-Serre 53, 17.1)

Спиновая структура

Другие способы увидеть это:

• Николай Новачик, Теорема A.6.6 в: Собственные значения Дирака высшей кратности , Регенсбург 2015 (arXiv: 1501.04045)

• S. Gutt, Киллинговые спиноры на сферах и проективных пространствах , p. 238-248 в: А. Траутман, Г. Фурлан (ред.) Спиноры в геометрии и физике — Триест, 11-13 сентября 1986 г. , World Scientific 1988 (DOI: 10.1142/9789814541510, GBooks, p. 243)

Возможность распараллеливания

Крышки разветвленные

Каждое nn-мерное PL-многообразие допускает разветвленное накрытие n-сферы (Александер 20).

По теореме существования Римана каждая связная компактная риманова поверхность допускает структуру разветвленного накрытия голоморфной функцией римановой сфере. Посмотрите на разветвленную крышку сферы Римана .

рисунков, взятых из Chamseddine-Connes-Mukhanov 14, Figure 1, Connes 17, Figure 11

О 3-многообразиях, разветвленных, накрывающих 3-сферу, см. (Montesinos 74).

Все 4-многообразия PL представляют собой простых разветвленных покрытий 4-сферы (Piergallini 95, Iori-Piergallini 02).

Но n-тор для n≥3n \ geq 3 — это , а не циклический , разветвленный над n-сферой (Hirsch-Neumann 75)

Итерированные пространства петель

(Kallel-Sjerve 99, Prop. 4.10)

Примеры

Список литературы

Формализация

Аксиоматизация гомотопического типа 1-сферы (круга) и 2-сферы, как высших индуктивных типов, находится в

Визуализация идеи конструкции для 2-х сфер находится в

Групповые действия по сферам

Обсуждение действий свободных групп на сферах конечными группами включает

Подгруппы SO (8), которые свободно действуют на S7S ^ 7, классифицированы в

.

• Дж.A. Wolf, Пространства постоянной кривизны , Publish or Perish, Boston, Third ed., 1974

и поднято до действий Spin (8) в

• S. Gadhia, Суперсимметричные факторы М-теории и основы супергравитации , докторская диссертация, Школа математики, Эдинбургский университет, 2007

Обсуждение транзитивных действий на nn-сферах компактных групп Ли:

• Дин Монтгомери, Ханс Самельсон, Группы преобразований сфер , Annals of Mathematics Second Series, Vol.44, No. 3 (июль 1943 г.), стр. 454-470 (jstor: 1968975)

• Альфред Грей, Пол С. Грин, Сферические транзитивные структуры и тройственный автоморфизм , Pacific J. Math. Том 34, номер 1 (1970), 83-96 (евклид: 1102976640)

Дальнейшее обсуждение этих действий находится в

• Пол де Медейрос, Хосе Фигероа-О’Фаррилл, Сунил Гадия, Елена Мендес-Эскобар, Коэффициенты полу-BPS в M-теории: ADE с поворотом , JHEP 0910: 038,2009 (arXiv: 0909.0163, слайды в pdf)

• Paul de Medeiros, José Figueroa-O’Farrill, Half-BPS M2-brane orbifolds , Adv. Теор. Математика. Phys. Том 16, номер 5 (2012), 1349-1408. (arXiv: 1007.4761, Евклид)

, где они связаны с BPS-решениями черной M2-браны 11-мерной супергравитации на ADE-сингулярностях.

См. Также классификацию таких действий ADE на 7-сфере (как там обсуждается)

Геометрические структуры на сферах

Космических структур на сферах:

Осторожно обращайтесь со следующими объектами:

Вложения сфер

(изотопический класс) вложение круга (1-сферы) в 3-сферу — это узел .2–2 (1 — t) = 0, \ quad \ text {где} \ \ boldsymbol {z} = \ boldsymbol {\ varPhi} (\ alpha, \ tau) \ \ mbox {перемещается на} \ \ partial C ( \ boldsymbol {w}, t). $

(8)

(Здесь \ (\ sqrt {2 (1-t)} \) — это расстояние от центра w до точки на границе C ( w , t Соотношение (8) описывает линию уровня \ (\ mathcal {C} _ {\ boldsymbol {w}} \) функции расстояния ∥ w — Φ ( α , τ ) ∥ (для w фиксировано) в пространстве параметров, которое является единичным квадратом, ср.Рис. 2. Для дальнейших ссылок мы записываем, что для каждого w существует, как правило, два исключительных уровня,

, где граница сферической шапки с центром в точке w проходит через Северный полюс ( p ) и Южный полюс (- p ) соответственно, что может совпадать, если w находится на экваторе. Для этих кривых уровня играет роль сингулярное поведение на полюсах, налагаемое параметризацией Φ .

Рис.2

Контурный график функции расстояния ∥ w — Φ ( α , τ ) ∥ для различных w . Кривые уровня для расстояний \ (\ sqrt {2} \) и \ (2 \ sqrt {v} \), \ (2 \ sqrt {1-v} \) подчеркнуты. Сплошная кривая показывает исчезающую кривизну

.

Предположим, что u = 1/2. Поскольку знак разности u — α поглощается функцией косинуса в функции расстояния, кривая уровня (набор уровней) симметрична относительно вертикальной линии α = u .Форма кривых (наборов) не изменяется, когда точка w вращается вокруг полярной оси, за исключением того, что часть, движущаяся за пределы левой стороны единичного квадрата, входит с правой стороны («обертывание»). Такое поведение «по модулю 1» усложняет рассмотрение выпуклости прообраза сферической шапки с центром на w согласно функции расстояния. Аналогичным образом и в том же смысле кривые (наборы) уровня симметричны относительно вертикальной линии α = u ± 1 / 2mod1, проходящей через точку параметра противоположной точки — w = Φ ( u ± 1 / 2mod1,1− v ).Отождествляя левую и правую стороны единичного квадрата [0,1] ² , мы получаем «цилиндрический вид». Ясно, что все кривые уровня, кроме критических, связанных с расстоянием до одного из полюсов, замкнуты на открытом цилиндре. Таким образом, кривые критического уровня разделяют открытый цилиндр на три части, соответствующие случаям, когда ни один полюс не содержится в сферической крышке с центром w , только один полюс содержится в сферической крышке, и оба полюса содержатся в сферический колпачок.И в первом, и в последнем случае линия уровня не может выйти за пределы множества уровней, ограниченного критической кривой (и границей цилиндра). Он закрыт даже в единичном квадрате, если набор уровней находится внутри него. В среднем случае кривые уровня охватывают цилиндр; то есть начинать с левой стороны единичного квадрата и заканчивать с его правой стороны на той же высоте; ср. Рис. 2.

Пусть

w будет Северным или Южным полюсом

Тогда кривые уровня представляют собой горизонтальные линии в единичном квадрате, которые представляют собой плавные кривые.Более того, прообраз сферической шапки с центром на одном из этих полюсов представляет собой выпуклое множество (прямоугольник).

Пусть

w будет отличаться от любого полюса (то есть 0 < v <1)

Мы используем кривизну со знаком неявно заданной кривой уровня, чтобы определить участки, где она является выпуклой (вогнутой). Сначала мы собираем частные производные до второго порядка:

(9а)

(9b)

(9c)

(9д)

(9e)

Мы видим, что частные производные, включающие дифференцирование по τ , становятся сингулярными, когда τ приближается к 0 (Северный полюс) или 1 (Южный полюс).{2} = 0 \) тогда и только тогда, когда τ = 1− v . Отсюда следует, что знаменатель формулы кривизны (10) обращается в нуль тогда и только тогда, когда z = Φ ( α , τ ) (на границе сферической шапки с центром w = Φ ( u , v )) совпадает с w (то есть сферическая крышка вырождается в точку w ) или z 9000podal совпадает с точка w (то есть закрытая сферическая крышка — это вся сфера).2 \ sqrt {(1 — v) v (1 — \ tau) \ tau}, \ qquad B = \ frac {\ sqrt {(1 — v) v}} {\ sqrt {(1 — \ tau) \ tau }}, \ qquad H = 1 — 2 \ tau. $$

Переупорядочивая относительно падающих степеней x , мы видим, что коэффициент x
² исчезает, и после упрощений получаем

Коэффициент х
³ не обращается в нуль при 0 < v <1 и 0 < τ <1.2)}. $$

Мы видим, что p (1− τ ) = p ( τ ) и q (1− τ ) = — q ( τ ). Следовательно, Q ( τ ; x ) = — Q (1− τ ; — x ) для всех x . В частности, если ξ является нулем Q ( τ ; ⋅), то так же — ξ нулем Q (1− τ ; ⋅) и наоборот. Унитарный многочлен Q степени 3 с действительными коэффициентами имеет одно или три действительных решения (с учетом кратности).2}. $$

Решения ± 1 (если τ = 1/2) соответствуют Φ ( α , τ ) = ± w и могут быть отброшены, поскольку мы предположили, что сферический колпачок не является ни точкой, ни всей сферой. Нуль решения дает cos (2 π ( u — α )) = 0, что, в свою очередь, показывает, что нули кривизны (10) образуют вертикальные линии при α = u ± 1 / 4mod1, если v = 1/2.2)}, $$

, что может произойти только при τ = v . Это означает, что Φ ( α , τ ) = w , что исключается нашими предположениями. Предположим, что Q имеет ноль в 0. Поскольку v ≠ 1/2, это может произойти только при τ = 1/2.

Установив, что −1, 0 (кроме случая τ = 1/2) и 1 не могут быть нулями многочлена Q , мы используем теорему Штурма, чтобы показать, что многочлен Q имеет ровно одно решение либо в интервал (−1,0) или в интервале (0,1), если τ ≠ 1/2, ср.{2}) \} \) и заключаем, что σ (0) = 2 для (1 / 2− v ) (1/2− τ )> 0 и σ (0) = 1 иначе. Для x = 1 имеем

(Позитив р
₂ (1) был проверен с помощью Mathematica.) Следовательно, во всех трех случаях p
₁ (1) <0, p
₁ (1) = 0 и p
₁ (1)> 0, получаем σ (1) = 1.Для x = −1 имеем

Здесь получаем σ (−1) = 2. Таким образом, по теореме Штурма разность σ (−1) — σ (0) дает количество действительных нулей Q в интервале (−1,0) и σ (0) — σ (1) — количество нулей в (0,1], см. Таблицу 3.

Таблица 3 Количество действительных нулей Q в интервалах (−1,0) и (0,1) как следует из теоремы Штурма

Установив, что многочлен Q должен иметь для каждого 0 < τ <1 ровно один ноль в интервале (−1,1) (см.Таблица 3 и предыдущие соображения), следует, что каждому такому нулю x = x ( τ ) соответствуют два значения α с помощью тригонометрического уравнения

$$ \ cos \ bigl (2 \ pi (u — \ alpha) \ bigr) = x (\ tau). $

(11)

Из-за непрерывности коэффициентов полинома Q (если 0 < τ <1), ноль x ( τ ) также непрерывно изменяется, как и решения α
₁ и α
₂ .2 \ frac {\ sqrt {(1 — v) v} (1 — \ tau) \ tau} {\ vert (1 — 2 v) \ sqrt {(1 — \ tau) \ tau} + (1 — 2 \ tau) \ sqrt {(1 — v) v} \ vert} $$

, который исчезает только при τ → 0 или τ → 1 (если 0 < v <1). При отождествлении левой и правой сторон единичного квадрата эти две линии разделяют два решения (11) таким образом, что в каждой части точки, в которых κ ( α , τ ) исчезают, образуют связная кривая, изменяющаяся относительно «базовых линий» α = u ± 1/4 mod 1.Отсюда следует, что эти кривые (вместе с границей цилиндра) делят цилиндр на две части, в каждой из которых кривизна κ ( α , τ ) имеет одинаковый знак. Формы этих кривых не меняются при повороте w вокруг полярной оси. Мы можем зафиксировать u = 1/2, и из-за симметрии (включая соотношение Q ( τ ; x ) = — Q (1− τ ; — x )) этого достаточно рассмотреть кривую нулей κ ( α , τ ) для 0 < v <1/2 (напомним, что эти кривые являются вертикальными линиями для v = 1/2) и 0 < τ <1/2, лежащая в полосе 0 < α <1/2.{\ prime} \ bigl (x (\ tau) \ bigr) \, \ dot {x} (\ tau) = - \ dot {p} (\ tau) \, x (\ tau) - \ dot {q} (\ tau),

долларов США
(12)

, где легко увидеть, что Q ′ ( x ( τ )) <0, поскольку x ( τ ) является простым, а Q ( x ) имеет отрицательную глобальную минимум для позитива x . Для τ ’s в (0,1 / 2), при котором \ (\ dot {x} (\ tau) \) обращается в нуль, мы имеем

$$ x (\ tau) = — \ dot {q} (\ tau) / \ dot {p} (\ tau) = \ frac {1-6 (1 — \ tau) \ tau} {1-6 (1 — v) v} \ frac {1 — 2 v} {1 — 2 \ tau} \ sqrt {\ frac {(1 — v) v} {(1 — \ tau) \ tau}}, $$

(13)

, который следует заменой

Для второй производной x при таких τ мы получаем

Выражение в квадратных скобках строго монотонно убывает на (0,1 / 2) и дает результат равным нулю при τ = 1/2.Таким образом, левая часть должна быть положительной для всех критических τ в (0,1 / 2), что, в свою очередь, означает, что \ (\ ddot {x} (\ tau) <0 \) при таком τ с. Мы заключаем, что x ( τ ) имеет единственный максимум в (0,1 / 2), поскольку он не может быть постоянным, как можно увидеть из (13), оценив x ( τ ) при этом τ ′, при котором 1−6 (1− τ ′) τ ′ = 0 и x ( τ ) → ∞ при τ → 1/2. По (11) (вспомним u = 1/2)

$$ — \ cos \ bigl (2 \ pi \ alpha (\ tau) \ bigr) = x (\ tau) $$

и отсюда следует, что α ( τ ) имеет единственный максимум в ( 0,1 / 2).

Предложение 19

Множество нулей
κ ( α , τ ) и горизонтальные стороны единичного квадрата делят единичный квадрат либо на три части со знаком равенства
κ ( α , τ ) или в четырех частях , cf . Рис . 2.

Используя тригонометрический метод, мы получаем явное выражение нуля Q в (−1,1).Замена переменной \ (x = 2 \ sqrt {-p / 3} \, \ cos \ theta \) дает эквивалентность

$$ Q (x) = 0 \ quad \ text {тогда и только тогда, когда} \ quad \ cos (3 \ theta) = \ frac {3 q} {2 p} \ sqrt {\ frac {3} {- p}} $$

и, следовательно,

$$ x (\ tau) = 2 \ sqrt {- p (\ tau) / 3} \ cos \ biggl (\ frac {1} {3} \ arccos \ biggl (\ frac {3q (\ tau)} {2p (\ tau)} \ sqrt {\ frac {3} {- p (\ tau)}} \ biggr) — \ frac {2 \ pi} {3} \ biggr). $$

(Отброшенные решения либо меньше, либо больше, чем данное.По нашим рассуждениям, они должны лежать вне интервала (−1,1).) Предельный процесс показывает, что x ( τ ) → 0 при τ → 0 или τ → 1. Следовательно, двигаясь к верхней или нижней стороне квадрата по кривой нулей кривизны, мы приближаемся к соответствующей «базовой линии» α = u ± 1/4 mod 1.

Исключение тригонометрического члена , вдоль кривой уровня с параметром t (см. (8)) имеем

, где X = t — (1-2 v ) (1-2 τ ).Переупорядочивая члены и используя замену G = t — (1-2 v ), получаем

(14)

Нули числителя кривизны (10) определяются полиномом от τ степени 4. Таким образом, может быть не более четырех пар (симметрия относительно α = u ) точек. на уровне, на котором кривизна исчезает. Аналогичным образом для полноты получаем

Особый интерес представляют критические кривые, когда граница сферической шапки проходит через полюс.{3/2}}. $

(15)

Для заданного 0 < τ <1 соответствующие значения α могут быть получены из соотношения

$$ \ cos \ bigl (2 \ pi (u — \ alpha) \ bigr) = \ frac {(1-2 v) \ tau} {2 \ sqrt {(1 — v) v (1 — \ tau ) \ tau}}. $

(16)

Из (8) следует, что диапазон для τ равен (0, τ
₁ ] с τ
₁ = 4 против (1− против ).Для дальнейшего использования запишем, что для 0 < v <1 с v ≠ 1/2 кривизна (15) исчезает только для

$$ \ tau_v = \ frac {1} {4} \ bigl (1 + 6 (1 — v) v — \ sqrt {1 — 4 (1 — v) v \ bigl (1 — 9 (1 — v) ) v \ bigr)} \ bigr). $

(17)

(Другое решение лежит вне интервала [−1,1], как можно проверить с помощью Mathematica.)

Предложение 20

Кривые нулей кривизны (10) ( как функции
τ ) принимают их экстремумы в
τ
_v
и 1− τ
_v
с
τ
_v
приведено в (17).

Проба

Предположим, что u = 1/2 и 0 < v <1/2. Тогда 0 < τ
_v
<1/2. Заметив, что правая часть (16) для τ = τ
_v
— это также ноль x ( τ
_v
) в интервале (0,1) полинома Q , с помощью Mathematica можно проверить, что правая часть (12) равна нулю и, следовательно, \ (\ dot {x} (\ tau_ { v}) = 0 \); то есть ноль x ( τ ) является экстремальным при τ = τ
_v
.Используя соотношение симметрии Q ( τ ; x ) = — Q (1− τ ; — x ), ноль x ( τ ) также является экстремальным при τ = 1− τ
_v
. С помощью (16) это переводится в экстремумы кривой нулей кривизны (10). Смещение u (вращение w вокруг полярной оси) не изменяет форму кривых уровня, и общий результат следует из этого.3} (1 — v) v, \ quad0

Мы заключаем, что кривая критического уровня с t = 1-2 v (связанная с Северным полюсом) имеет ровно одну симметричную (в цилиндрическом виде) пару точек пересечения с кривыми нулей функция кривизны (10) при τ = τ
_v
в полосе 0 < τ <1. Аналогичный результат справедлив для кривой уровня, связанной с Южным полюсом ( t = — (1-2 v )).

Предложение 21

Пусть 0 < v <1/2. Затем кривые уровня с
т
в диапазоне — (1-2 v ) ≤ t ≤ 1-2 v
имеют ровно одну симметричную ( в цилиндрическом виде ) пару точек пересечения с кривой нулей функции кривизны (10). для
т
в диапазонах −1 < t <- (1-2 v ) или 1-2 v < t <1 нет точек пересечения , одна пара касательных точки , или две пары .

Аналогичный результат верен для 1/2 < t <1. (Для v = 1/2 кривые уровня для расстояния \ (\ sqrt {2} \) являются вертикалями при α = u ± 1 / 4mod1 и совпадают с кривой нулей κ ( α , τ ) и также совпадают с критическими кривыми.Остальные кривые уровня не имеют пересечений.)

Проба

Без ограничения общности предположим, что u = 1/2. Мы уже установили, что каждая кривая критического уровня имеет ровно одну пару симметричных (относительно α = u ) точек пересечения с двумя кривыми нулевой кривизны вокруг базовых линий α = u ± 1 / 4 при значениях τ = τ
_v
и τ = 1− τ
_v
.Эти значения параметров также дают положение экстремумов нулевых кривых, ср. Рис. 2. Левая нулевая кривая \ (\ mathcal {Z} \) увеличивается для τ в (0, τ
_v
), уменьшаясь для τ дюймов ( τ
_v
, 1− τ
_v
) и снова возрастает для τ в (1− τ
_v
, 1).

Пусть — (1-2 v ) < t <1-2 v и Γ
_т
обозначают левую половину соответствующей кривой уровня, начинающуюся с левой стороны в некоторой точке (0, τ
₁ ) и заканчиваясь в какой-то момент ( u , τ
₂ ). (Другая половина симметрична.) Отметим, что часть, где нулевая кривая возрастает, содержится в областях, разделенных кривыми критического уровня.Таким образом, пересечение между \ (\ mathcal {Z} \) и Γ
_т
может встречаться только для τ в интервале [ t
_v
, 1− т
_v
]. Кривизна по Γ
_т
непрерывно изменяется (см. (14) и последующую формулу) с отрицательного значения на положительное.Следовательно, существует точка пересечения \ (\ mathcal {Z} \) и Γ
_т
и Γ
_т
не может измениться резко. В частности, как \ (\ mathcal {Z} \), так и Γ
₀ ^{Сноска 2} проходят через (1 / 4,1 / 2), что является их единственной точкой пересечения, потому что для τ ≠ 1/2 вертикальная линия α = 1/4 разделяет обе кривые.А Γ
_т
с 0 < t <1-2 v (- (1-2 v ) < t <0) должен пересекать \ (\ mathcal {Z} \) в полосе 1/4 < α <1/2 (0 < α <1/4). Изучая частные производные F (см. (9a) — (9e)) (9c), (9d), (9e)), следует, что градиент F в точке пересечения, которая является внешней нормалью на кривой уровня Γ
_т
, указывает в левую верхнюю часть; то есть касательный вектор в точке Γ
_т
в точке пересечения показывает вправо, тогда как касательный вектор в точке \ (\ mathcal {Z} \) в этой точке показывает влево.Более того, если 0 < t <1-2 v , то кривая Γ
₀ разделяет \ (\ mathcal {Z} \) и Γ
_т
для τ ≥1 / 2, а в оставшейся части обе кривые \ (\ mathcal {Z} \) и Γ
_т
отклоняются друг от друга, потому что \ (\ mathcal {Z} \) уменьшается с ростом τ и кривизны вдоль Γ
_т
становится положительным.Следовательно, есть только одна точка пересечения Γ
_т
и \ (\ mathcal {Z} \). Аналогичное рассуждение справедливо для — (1-2 v ) < t <0.

Пусть 1-2 v < t <1. Пусть Γ
_т
обозначают левую половину кривой уровня. Для t , достаточно близкого к 1, нет пересечения с \ (\ mathcal {Z} \), и кривая уровня выпуклая.Если Γ
_т
и \ (\ mathcal {Z} \) пересекаются только в одной точке, тогда кривая уровня все еще будет выпуклой, поскольку функция кривизны κ ( α , τ ) имеет положительный знак на участке между \ ( \ mathcal {Z} \) и вертикальная линия α = u . В этом случае \ (\ mathcal {Z} \) и Γ
_т
имеют общую касательную в точке пересечения.Если кривизна по Γ
_т
меняет знак на отрицательный, затем он должен снова стать положительным, так как он будет положительным при пересечении вертикали α = u . Но после возврата к положительной кривизне обе кривые отклоняются друг от друга. Значит, другой точки пересечения быть не может.

По симметрии относительно прямой α = u есть пары симметричных точек пересечения.

Shifting u не изменяет форму кривых и их взаимное расположение. Это завершает доказательство. □

Компьютерная генерация распределений на m-Sphere на JSTOR

Abstract

Разработана методика построения алгоритмов генерации псевдослучайных векторов из семейств распределений на единичной m-сфере. Этот метод применяется к распределению Фишера-фон Мизеса, чтобы получить генератор, который легко программируется и очень эффективен.Затем генератор Фишера-фон Мизеса используется в кратком исследовании методом Монте-Карло валидности процедуры тестирования, разработанной Стивенсом (1982).

Информация журнала

Прикладная статистика журнала Королевской статистической
Общество было основано в 1952 году. Оно продвигает газеты, основанные на реальных
жизненные проблемы, и которые вносят новый вклад в предмет.

JSTOR предоставляет цифровой архив печатной версии прикладной статистики.
Электронная версия «Прикладной статистики» доступна по адресу
http: // www.interscience.wiley.com.
Авторизованные пользователи могут иметь доступ к полному тексту статей на этом сайте.

Информация для издателя

Wiley — глобальный поставщик контента и решений для рабочих процессов с поддержкой контента в областях научных, технических, медицинских и научных исследований; профессиональное развитие; и образование. Наши основные направления деятельности выпускают научные, технические, медицинские и научные журналы, справочники, книги, услуги баз данных и рекламу; профессиональные книги, продукты по подписке, услуги по сертификации и обучению и онлайн-приложения; образовательный контент и услуги, включая интегрированные онлайн-ресурсы для преподавания и обучения для студентов и аспирантов, а также для учащихся на протяжении всей жизни.Основанная в 1807 году компания John Wiley & Sons, Inc. уже более 200 лет является ценным источником информации и понимания, помогая людям во всем мире удовлетворять свои потребности и реализовывать их чаяния. Wiley опубликовал работы более 450 лауреатов Нобелевской премии во всех категориях: литература, экономика, физиология и медицина, физика, химия и мир.

Wiley поддерживает партнерские отношения со многими ведущими мировыми сообществами и ежегодно издает более 1500 рецензируемых журналов и более 1500 новых книг в печатном виде и в Интернете, а также базы данных, основные справочные материалы и лабораторные протоколы по предметам STMS.Благодаря растущему предложению открытого доступа, Wiley стремится к максимально широкому распространению и доступу к публикуемому контенту, а также поддерживает все устойчивые модели доступа. Наша онлайн-платформа, Wiley Online Library (wileyonlinelibrary.com), является одной из самых обширных в мире междисциплинарных коллекций онлайн-ресурсов, охватывающих жизнь, здоровье, социальные и физические науки и гуманитарные науки.